Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que classificar a sequência
quanto à sua monotonicidade. Monotonicidade significa verificar se a sequência está sempre aumentando, sempre diminuindo ou se não tem um padrão fixo. Para isso, vamos precisar comparar termos consecutivos da sequência e ver como eles se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a sequência está se comportando conforme
aumenta. Vamos calcular alguns valores para termos diferentes de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Vemos que conforme
aumenta, o valor de
está diminuindo.
Passo 3
Agora, vamos formalizar isso. Para verificar se a sequência é crescente ou decrescente, vamos comparar
com
:
Queremos ver se
:
Vamos resolver a desigualdade:
Multiplicando em cruz:
Expandindo:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Como isso é sempre verdade, significa que
para todo
, ou seja, a sequência é decrescente.
Passo 4
Além disso, vamos analisar o limite da sequência conforme
tende ao infinito:
Isso mostra que a sequência está se aproximando de
, confirmando que ela está diminuindo até esse valor.
Resposta
A sequência
é decrescente.
Exercícios relacionados
Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
(a)
(a)
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também
, caso exista.
(n)
(n)
Com base nelas, calcule:
(b)
(b)
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também
, caso exista.
(b)
(b)