Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(a) u_n = n / (2n - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que classificar a sequência quanto à sua monotonicidade. Monotonicidade significa verificar se a sequência está sempre aumentando, sempre diminuindo ou se não tem um padrão fixo. Para isso, vamos precisar comparar termos consecutivos da sequência e ver como eles se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência está se comportando conforme aumenta. Vamos calcular alguns valores para termos diferentes de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que conforme aumenta, o valor de está diminuindo.

Passo 3

Agora, vamos formalizar isso. Para verificar se a sequência é crescente ou decrescente, vamos comparar com :
Queremos ver se :
Vamos resolver a desigualdade:
Multiplicando em cruz:
Expandindo:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Como isso é sempre verdade, significa que para todo , ou seja, a sequência é decrescente.

Passo 4

Além disso, vamos analisar o limite da sequência conforme tende ao infinito:
Isso mostra que a sequência está se aproximando de , confirmando que ela está diminuindo até esse valor.

Resposta

A sequência é decrescente.

Exercícios relacionados