Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(n) un=1+(-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os quatro primeiros termos da sequência e também calcular o limite quando tende ao infinito, se existir. Aqui, estamos trabalhando com sequências numéricas, que são basicamente listas ordenadas de números seguindo uma regra específica. Para isso, vamos precisar entender como calcular termos de uma sequência e o que significa o limite de uma sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da sequência. Para isso, substituímos u1 = 1 + (-1)^1 = 1 + (-1) = 0 por 1, 2, 3 e 4 na fórmula u2 = 1 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2 .
  • Para u3 = 1 + (-1)^3 = 1 + (-1) = 0 :
    u4 = 1 + (-1)^4 = 1 + 1 = 2
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 3

Agora, vamos entender o comportamento dessa sequência à medida que aumenta. Observamos que os termos estão alternando entre 0 e 2 conforme aumenta. Isso acontece porque a potência de depende do valor de :
  • Se é ímpar, .
  • Se é par, .
Então, a sequência fica assim: 0, 2, 0, 2, 0, 2, …

Passo 4

Para calcular o limite , precisamos verificar se a sequência se aproxima de um único valor conforme cresce sem limites. No nosso caso, a sequência continua alternando entre 0 e 2 e nunca se estabiliza em um único número.
Isso significa que o limite não existe, já que não há um valor único que a sequência está se aproximando.

Resposta

Os quatro primeiros termos da sequência são , , e . O limite não existe.

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log_m(x^4 + m^4) ≥ 2 + log_m((x/(2*m))^2 + m^2)
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(j) un=arctan n
Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
(a) {1/3, 2/9, 4/27, 8/81, ...}
Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(a) u_n = n / (2n - 1)