Classifique as quádricas (completando quadrados ou fazendo rotações de eixos)
i) q1(x, y, z)=x y+y z+x z-1=0
ii) q2(x, y, z)=x^2+y z+x z+2 z^2-1=0
iii) q3(x, y, z)=x^2+y z+2 z^2+3 x+4 y+5 z-1=0
iv) q4(x, y, z)=lambda x^2+2 x y+y^2+2 z^2+y-z=0. Analise a dependência em relação a variável lambda.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para classificar as quadricas, que são superfícies quadráticas no espaço tridimensional, usando métodos como completar quadrados ou rotações de eixos. Isso envolve identificar o tipo de superfície que cada equação representa, como elipsoide, paraboloide, hiperboloide, etc. Vamos precisar usar álgebra linear e geometria analítica para manipular as equações e identificar suas características.

Passo 2

Vamos começar com a primeira quadrica:
i) Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Para classificar essa equação, podemos tentar diagonalizar a matriz associada aos termos quadráticos. A forma geral de uma quadrica é:
No caso de , temos:
  • Coeficientes quadráticos: nenhum termo isolado como , , ou , mas temos termos cruzados , e .
  • Constante: -1
A ausência de termos quadráticos puros sugere que a quadrica pode representar uma superfície mais complexa, como um cone ou cilindro.

Passo 3

Vamos analisar a matriz simétrica associada aos termos quadráticos de 0 & 12 & 12 12 & 0 & 12 12 & 12 & 0 :
Para classificar a quadrica, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Isso nos ajudará a determinar a natureza da superfície.

Passo 4

Calculando os autovalores da matriz, encontramos que eles são , , e . A presença de um autovalor negativo indica que a quadrica é um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície tem duas partes conectadas e se abre em duas direções opostas.

Passo 5

Portanto, a quadrica é um hiperboloide de uma folha.

Resposta

A quadrica é um hiperboloide de uma folha.

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