Classifique as quádricas (completando quadrados ou fazendo rotações de eixos)
i)
ii)
iii)
iv) . Analise a dependência em relação a variável .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para classificar as quadricas, que são superfícies quadráticas no espaço tridimensional, usando métodos como completar quadrados ou rotações de eixos. Isso envolve identificar o tipo de superfície que cada equação representa, como elipsoide, paraboloide, hiperboloide, etc. Vamos precisar usar álgebra linear e geometria analítica para manipular as equações e identificar suas características.
Passo 2
Vamos começar com a primeira quadrica:
i)
Para classificar essa equação, podemos tentar diagonalizar a matriz associada aos termos quadráticos. A forma geral de uma quadrica é:
No caso de , temos:
Coeficientes quadráticos: nenhum termo isolado como , , ou , mas temos termos cruzados , e .
Constante: -1
A ausência de termos quadráticos puros sugere que a quadrica pode representar uma superfície mais complexa, como um cone ou cilindro.
Passo 3
Vamos analisar a matriz simétrica associada aos termos quadráticos de :
Para classificar a quadrica, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Isso nos ajudará a determinar a natureza da superfície.
Passo 4
Calculando os autovalores da matriz, encontramos que eles são , , e . A presença de um autovalor negativo indica que a quadrica é um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície tem duas partes conectadas e se abre em duas direções opostas.
Passo 5
Portanto, a quadrica é um hiperboloide de uma folha.