Sejam
,
subespaços de
. Determine uma base e a dimensão para
e
. É verdade que
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos o espaço
, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Nos dão dois subespaços
e
definidos por certas condições nas entradas das matrizes:
-
: Matriz onde -
: Matriz onde
Queremos encontrar uma base e a dimensão de
,
,
e
. Além disso, verificar se
.
Vamos precisar usar conceitos de subespaços vetoriais, bases, dimensões, soma e interseção de subespaços, e a noção de soma direta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base para
. Sabemos que em
, a entrada
é igual a
. Então, uma matriz em
tem a forma:
Aqui,
,
e
podem ser qualquer número real. Podemos expressar essa matriz como uma combinação linear dos seguintes vetores-matriz:
Então, uma base para
é:
A dimensão de
é o número de vetores na base, que é 3.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma base para
. Em
, a entrada
é igual a
. Então, uma matriz em
tem a forma:
Aqui,
,
e
podem ser qualquer número real. Podemos expressar essa matriz como uma combinação linear dos seguintes vetores-matriz:
Então, uma base para
é:
A dimensão de
também é 3.
Passo 4
Vamos encontrar
, que é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de
e uma matriz de
. Para isso, somamos as bases de
e
:
E similarmente para outras combinações. No entanto, percebemos que as duas bases compartilham o vetor:
Então, a base para
será:
Contudo, algumas dessas matrizes são combinações lineares umas das outras, então a base pode ser reduzida a 4 vetores independentes linearmente. Portanto, a dimensão de
é 4.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a interseção
, que são as matrizes que pertencem tanto a
quanto a
. Isso significa que uma matriz na interseção deve satisfazer
e
simultaneamente. Então, a matriz tem a forma:
Aqui,
e
são livres. Podemos expressar essa matriz como:
Então, uma base para
é:
A dimensão de
é 2.
Passo 6
Por fim, vamos verificar se
. Para que isso seja verdade, duas condições precisam ser atendidas:
Já vimos que
, que é a dimensão de
, então a primeira condição está satisfeita.
No entanto, vimos que
, que não é apenas o vetor zero. Isso significa que há matrizes diferentes de zero que pertencem a ambos os subespaços, violando a segunda condição.
Resposta
-
Base e Dimensão de
: Dimensão: 3 -
Base e Dimensão de
: Dimensão: 3 -
Base e Dimensão de
: Dimensão: 4 -
Base e Dimensão de
: Dimensão: 2 -
Sobre a soma direta:
Não,não é igual a porque não contém apenas o vetor zero.
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