Sejam ,
subespaços de . Determine uma base e a dimensão para e . É verdade que ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos o espaço , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Nos dão dois subespaços e definidos por certas condições nas entradas das matrizes:
  • : Matriz onde
  • : Matriz onde
Queremos encontrar uma base e a dimensão de , , e . Além disso, verificar se .
Vamos precisar usar conceitos de subespaços vetoriais, bases, dimensões, soma e interseção de subespaços, e a noção de soma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base para . Sabemos que em , a entrada é igual a . Então, uma matriz em tem a forma:
Aqui, , e podem ser qualquer número real. Podemos expressar essa matriz como uma combinação linear dos seguintes vetores-matriz:
Então, uma base para é:
A dimensão de é o número de vetores na base, que é 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base para . Em , a entrada é igual a . Então, uma matriz em tem a forma:
Aqui, , e podem ser qualquer número real. Podemos expressar essa matriz como uma combinação linear dos seguintes vetores-matriz:
Então, uma base para é:
A dimensão de também é 3.

Passo 4

Vamos encontrar , que é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de e uma matriz de . Para isso, somamos as bases de e :
E similarmente para outras combinações. No entanto, percebemos que as duas bases compartilham o vetor:
Então, a base para será:
Contudo, algumas dessas matrizes são combinações lineares umas das outras, então a base pode ser reduzida a 4 vetores independentes linearmente. Portanto, a dimensão de é 4.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a interseção , que são as matrizes que pertencem tanto a quanto a . Isso significa que uma matriz na interseção deve satisfazer e simultaneamente. Então, a matriz tem a forma:
Aqui, e são livres. Podemos expressar essa matriz como:
Então, uma base para é:
A dimensão de é 2.

Passo 6

Por fim, vamos verificar se . Para que isso seja verdade, duas condições precisam ser atendidas:
Já vimos que , que é a dimensão de , então a primeira condição está satisfeita.
No entanto, vimos que , que não é apenas o vetor zero. Isso significa que há matrizes diferentes de zero que pertencem a ambos os subespaços, violando a segunda condição.

Resposta

  • Base e Dimensão de :
    Dimensão: 3
  • Base e Dimensão de :
    Dimensão: 3
  • Base e Dimensão de :
    Dimensão: 4
  • Base e Dimensão de :
    Dimensão: 2
  • Sobre a soma direta:
    Não, não é igual a porque não contém apenas o vetor zero.

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