Sejam V=R^2 times 2,
W1=[ll a & b c & d ] in V: b=-a e W2=[ll a & b c & d ] in V: c=-a
subespaços de V. Determine uma base e a dimensão para W1, W2, W1+W2 e W1 cap W2. É verdade que R^2 times 2=W1 oplus W2 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos o espaço , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Nos dão dois subespaços e definidos por certas condições nas entradas das matrizes:
  • : Matriz onde
  • : Matriz onde
Queremos encontrar uma base e a dimensão de , , e . Além disso, verificar se .
Vamos precisar usar conceitos de subespaços vetoriais, bases, dimensões, soma e interseção de subespaços, e a noção de soma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base para a & -a c & d . Sabemos que em a 1 & -1 0 & 0 + c 0 & 0 1 & 0 + d 0 & 0 0 & 1 , a entrada 1 & -1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 é igual a . Então, uma matriz em tem a forma:
Aqui, , e podem ser qualquer número real. Podemos expressar essa matriz como uma combinação linear dos seguintes vetores-matriz:
Então, uma base para é:
A dimensão de é o número de vetores na base, que é 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base para a & b -a & d . Em a 1 & 0 -1 & 0 + b 0 & 1 0 & 0 + d 0 & 0 0 & 1 , a entrada 1 & 0 -1 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 0 & 1 é igual a . Então, uma matriz em tem a forma:
Aqui, , e podem ser qualquer número real. Podemos expressar essa matriz como uma combinação linear dos seguintes vetores-matriz:
Então, uma base para é:
A dimensão de também é 3.

Passo 4

Vamos encontrar 1 & -1 0 & 0 + 1 & 0 -1 & 0 = 2 & -1 -1 & 0 , que é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de 0 & 0 0 & 1 e uma matriz de 1 & -1 0 & 0 , 1 & 0 -1 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 0 & 1 . Para isso, somamos as bases de e :
E similarmente para outras combinações. No entanto, percebemos que as duas bases compartilham o vetor:
Então, a base para será:
Contudo, algumas dessas matrizes são combinações lineares umas das outras, então a base pode ser reduzida a 4 vetores independentes linearmente. Portanto, a dimensão de é 4.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a interseção a & -a -a & d , que são as matrizes que pertencem tanto a a 1 & -1 -1 & 0 + d 0 & 0 0 & 1 quanto a 1 & -1 -1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 . Isso significa que uma matriz na interseção deve satisfazer e simultaneamente. Então, a matriz tem a forma:
Aqui, e são livres. Podemos expressar essa matriz como:
Então, uma base para é:
A dimensão de é 2.

Passo 6

Por fim, vamos verificar se . Para que isso seja verdade, duas condições precisam ser atendidas:
Já vimos que , que é a dimensão de , então a primeira condição está satisfeita.
No entanto, vimos que , que não é apenas o vetor zero. Isso significa que há matrizes diferentes de zero que pertencem a ambos os subespaços, violando a segunda condição.

Resposta

  • Base e Dimensão de 1 & -1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 :
    1 & 0 -1 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 0 & 1
    Dimensão: 3
  • Base e Dimensão de 1 & -1 0 & 0 , 1 & 0 -1 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 0 & 1 :
    1 & -1 -1 & 0 , 0 & 0 0 & 1
    Dimensão: 3
  • Base e Dimensão de :
    Dimensão: 4
  • Base e Dimensão de :
    Dimensão: 2
  • Sobre a soma direta:
    Não, não é igual a porque não contém apenas o vetor zero.

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