Encontre a solução da equação de Bernoulli:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é do tipo
. A matéria aqui envolve equações diferenciais não lineares, especificamente a equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação para uma forma linear que a gente sabe resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
,
e
na equação padrão de Bernoulli, que é
. No nosso caso:
Passo 3
Agora, a parada é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear. A gente define uma nova função
tal que:
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Usando a regra da cadeia:
Passo 5
A gente substitui
da equação original na expressão de
. Da equação
, temos:
Substituindo na expressão de
Passo 6
Simplificando a expressão de
:
Lembrando que
Passo 7
Agora temos uma equação linear em termos de
:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante.
Passo 8
Calculamos o fator integrante
:
Passo 9
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 10
Integrando ambos os lados:
Vamos resolver a integral usando integração por partes.
Passo 11
Aplicando integração por partes onde:
-
-
Então:
Passo 12
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 13
Despejando
:
Passo 14
Lembrando que
, resolvemos para
:
Invertendo:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli é:
onde
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Sejam
,
subespaços de
. Determine uma base e a dimensão para
e
. É verdade que
?
Classifique as quádricas (completando quadrados ou fazendo rotações de eixos)
i)
ii)
iii)
iv) . Analise a dependência em relação a variável
.
i)
ii)
iii)
iv)
Resolva a equação de Bernoulli:
.