Encontre a solução da equação de Bernoulli: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é do tipo . A matéria aqui envolve equações diferenciais não lineares, especificamente a equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação para uma forma linear que a gente sabe resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de , e na equação padrão de Bernoulli, que é . No nosso caso:

Passo 3

Agora, a parada é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear. A gente define uma nova função tal que:

Passo 4

Vamos derivar em relação a para encontrar . Usando a regra da cadeia:

Passo 5

A gente substitui da equação original na expressão de . Da equação , temos:

Substituindo na expressão de :

Passo 6

Simplificando a expressão de :

Lembrando que , substituímos:

Passo 7

Agora temos uma equação linear em termos de :

Vamos resolver essa equação usando o fator integrante.

Passo 8

Calculamos o fator integrante :

Passo 9

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:

Isso simplifica para:

Passo 10

Integrando ambos os lados:

Vamos resolver a integral usando integração por partes.

Passo 11

Aplicando integração por partes onde:

  • Então:

Passo 12

Substituindo de volta:

Simplificando:

Passo 13

Despejando :

Passo 14

Lembrando que , resolvemos para :

Invertendo:

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:

onde é a constante de integração.

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