Encontre a solução da equação de Bernoulli: y^prime+y=2 x y^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é do tipo y^prime + y = 2x y^3. A matéria aqui envolve equações diferenciais não lineares, especificamente a equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação para uma forma linear que a gente sabe resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de P(x), Q(x) e n na equação padrão de Bernoulli, que é y + P(x)y = Q(x)y^n. No nosso caso:
  • P(x) = 1
  • Q(x) = 2x
  • n = 3

Passo 3

Agora, a parada é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear. A gente define uma nova função v tal que:
v = y^1 - n = y^-2

Passo 4

Vamos derivar v em relação a x para encontrar v. Usando a regra da cadeia:
v = ddx(y^-2) = -2y^-3y

Passo 5

A gente substitui y da equação original na expressão de v. Da equação y + y = 2x y^3, temos:
y = 2x y^3 - y
Substituindo na expressão de v:
v = -2y^-3(2x y^3 - y) = -2(2x - y^-2)

Passo 6

Simplificando a expressão de v:
v = -4x + 2y^-2
Lembrando que v = y^-2, substituímos:
v = -4x + 2v

Passo 7

Agora temos uma equação linear em termos de v:
v - 2v = -4x
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante.

Passo 8

Calculamos o fator integrante mu(x):
mu(x) = e^integral -2 dx = e^-2x

Passo 9

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^-2xv - 2e^-2xv = -4x e^-2x
Isso simplifica para:
ddx(v e^-2x) = -4x e^-2x

Passo 10

Integrando ambos os lados:
v e^-2x = integral -4x e^-2x dx + C
Vamos resolver a integral usando integração por partes.

Passo 11

Aplicando integração por partes onde:
  • u = x Rightarrow du = dx
  • dv = e^-2x dx Rightarrow v = -12e^-2x
    Então:
integral x e^-2x dx = -12x e^-2x + 14e^-2x + C

Passo 12

Substituindo de volta:
v e^-2x = -4 ( -12x e^-2x + 14e^-2x ) + C
Simplificando:
v e^-2x = 2x e^-2x - e^-2x + C

Passo 13

Despejando v:
v = 2x - 1 + C e^2x

Passo 14

Lembrando que v = y^-2, resolvemos para y:
y^-2 = 2x - 1 + C e^2x
Invertendo:
y = (2x - 1 + C e^2x)^-12

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
y(x) = (2x - 1 + C e^2x)^-12
onde C é a constante de integração.

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