8) Classifique as quádricas (completando quadrados ou fazendo rotações de eixos) i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para classificar a quádrica dada pela equação . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos superfícies no espaço definidas por equações de segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar completar quadrados ou fazer rotações de eixos para simplificar a equação e identificar que tipo de superfície ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação que temos: Notamos que há termos de produto entre as variáveis , e (ou seja, , e ), além de um termo constante. Para classificar essa quádrica, nosso objetivo é reescrever a equação de uma forma mais simples, eliminando esses termos de produto.

Passo 3

Uma técnica útil para lidar com termos de produto é usar uma substituição que simplifique a expressão. Vamos tentar expressar os termos de uma forma que nos ajude a completar o quadrado. Sabemos que: Rearranjando essa equação para isolar , temos:

Passo 4

Substituindo essa expressão de volta na nossa equação original: Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração: Assim, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos tentar simplificar essa equação. Podemos rearranjá-la para uma forma que nos permita identificar o tipo de superfície. Subtraindo de ambos os lados: Simplificando o lado esquerdo: Dividindo ambos os lados por 2: Isso nos leva de volta à equação inicial, indicando que precisamos de outra abordagem para classificar a quádrica.

Passo 6

Vamos então representar a quádrica em forma matricial para facilitar a classificação. A equação geral de uma quádrica em três variáveis é: No nosso caso, temos: Podemos representar isso com uma matriz simétrica:

Passo 7

Para classificar a quádrica, calculamos os autovalores dessa matriz. Os autovalores nos dirão sobre a natureza da superfície. Encontramos que os autovalores são e (com multiplicidade 2). Isso significa que temos um autovalor positivo e dois negativos.

Passo 8

Com esses autovalores, podemos determinar a assinatura da quádrica, que é (1, 2). Isso indica que a quádrica é um **hiperboloide de uma folha**. Esse tipo de superfície tem uma estrutura semelhante a uma sela e é caracterizado por ter um autovalor com sinal diferente dos outros, o que confirma nossa classificação.

Resposta

A quádrica é um **hiperboloide de uma folha**.

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