Seja um subconjunto de um espaço vetorial dotado de produto interno (usual).
(b) Encontre uma base ortonormal para a partir do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois vetores no conjunto que estão no espaço vetorial com o produto interno usual. Nosso objetivo aqui é encontrar uma base ortonormal para usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Basicamente, vamos transformar esses vetores em uma base onde todos são perpendiculares entre si e têm comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, a gente começa aplicando o processo de Gram-Schmidt para tornar os vetores ortogonais. Pegue o primeiro vetor de , que é . Esse daqui vai ser nosso ponto de partida.

Passo 3

Agora, vamos ao segundo vetor, . A ideia é ajustar esse vetor para que ele seja perpendicular ao . Para isso, a gente calcula a projeção de em e subtrai essa projeção de . A fórmula pra projeção é:

Passo 4

Vamos calcular isso agora:
Então,

Passo 5

Agora, subtraímos essa projeção do original para obter o vetor ortogonal:

Passo 6

Até aqui, temos uma base ortogonal formada por e . Mas ainda não está ortonormal, pois os vetores não têm comprimento 1. Precisamos normalizar cada um deles.

Passo 7

Vamos calcular as normas:

Passo 8

Agora, dividimos cada vetor pela sua norma:

Resposta

Uma base ortonormal para é .

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