Seja
um subconjunto de um espaço vetorial
dotado de produto interno (usual).
(b) Encontre uma base ortonormal para
a partir do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.
(b) Encontre uma base ortonormal para
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois vetores no conjunto
que estão no espaço vetorial
com o produto interno usual. Nosso objetivo aqui é encontrar uma base ortonormal para
usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Basicamente, vamos transformar esses vetores em uma base onde todos são perpendiculares entre si e têm comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, a gente começa aplicando o processo de Gram-Schmidt para tornar os vetores ortogonais. Pegue o primeiro vetor de
, que é
. Esse daqui vai ser nosso ponto de partida.
Passo 3
Agora, vamos ao segundo vetor,
. A ideia é ajustar esse vetor para que ele seja perpendicular ao
. Para isso, a gente calcula a projeção de
em
e subtrai essa projeção de
. A fórmula pra projeção é:
Passo 4
Vamos calcular isso agora:
Então,
Passo 5
Agora, subtraímos essa projeção do
original para obter o vetor ortogonal:
Passo 6
Até aqui, temos uma base ortogonal formada por
e
. Mas ainda não está ortonormal, pois os vetores não têm comprimento 1. Precisamos normalizar cada um deles.
Passo 7
Vamos calcular as normas:
Passo 8
Agora, dividimos cada vetor pela sua norma:
Resposta
Uma base ortonormal para
é
.