Seja W=(1,2),(3,1) um subconjunto de um espaço vetorial V dotado de produto interno (usual).
(b) Encontre uma base ortonormal para V a partir do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois vetores no conjunto que estão no espaço vetorial com o produto interno usual. Nosso objetivo aqui é encontrar uma base ortonormal para usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Basicamente, vamos transformar esses vetores em uma base onde todos são perpendiculares entre si e têm comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, a gente começa aplicando o processo de Gram-Schmidt para tornar os vetores ortogonais. Pegue o primeiro vetor de , que é . Esse daqui vai ser nosso ponto de partida.

Passo 3

Agora, vamos ao segundo vetor, Projv1(v2) = ( v2 cdot v1v1 cdot v1 ) v1 . A ideia é ajustar esse vetor para que ele seja perpendicular ao . Para isso, a gente calcula a projeção de em e subtrai essa projeção de . A fórmula pra projeção é:

Passo 4

Vamos calcular isso agora:
v2 cdot v1 = 3 times 1 + 1 times 2 = 3 + 2 = 5
v1 cdot v1 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5
Então,
Projv1(v2) = ( 55 ) (1, 2) = (1, 2)

Passo 5

Agora, subtraímos essa projeção do u2 = v2 - Projv1(v2) = (3, 1) - (1, 2) = (2, -1) original para obter o vetor ortogonal:

Passo 6

Até aqui, temos uma base ortogonal formada por e . Mas ainda não está ortonormal, pois os vetores não têm comprimento 1. Precisamos normalizar cada um deles.

Passo 7

Vamos calcular as normas:
|u1| = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5
|u2| = raiz2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5

Passo 8

Agora, dividimos cada vetor pela sua norma:
e1 = ( 1raiz5, 2raiz5 )
e2 = ( 2raiz5, -1raiz5 )

Resposta

Uma base ortonormal para é .

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