iv) q4(x, y, z)=lambda x^2+2 x y+y^2+2 z^2+y-z=0. Analise a dependência em relação a variável lambda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação quadrática . O que a gente precisa fazer é analisar como essa equação depende da variável . Ou seja, vamos ver como o valor de afeta as soluções dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações quadráticas e como os coeficientes influenciam nas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a equação é uma combinação de termos quadráticos e lineares nas variáveis , e . O termo é o que traz a dependência em relação a . Para analisar essa dependência, podemos considerar diferentes valores de e ver como isso afeta a equação.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para destacar o termo que envolve lambda x^2 + 2xy + y^2 + 2z^2 + y - z = 0 :
Aqui, está multiplicando . Isso significa que o valor de vai escalar o termo , modificando a “curvatura” da equação em relação a .

Passo 4

Para entender melhor, vamos imaginar diferentes casos para 2xy + y^2 + 2z^2 + y - z = 0 :
  1. Se :
    A equação fica:
    Aqui, não temos mais o termo , o que simplifica a equação.
  2. Se :
    O termo aumenta à medida que cresce, fazendo a equação mais “aberta” em relação a .
  3. Se :
    O termo diminui à medida que cresce, o que pode fazer a equação se comportar de forma diferente, possivelmente fechando em certas direções.

Passo 5

Além disso, a presença de lambda x^2 + (2y)x + (y^2 + 2z^2 + y - z) = 0 afeta se a equação tem soluções reais ou não. Para isso, podemos pensar no discriminante da equação quadrática em D = (2y)^2 - 4 lambda (y^2 + 2z^2 + y - z) , tratando D = 4y^2 - 4lambda (y^2 + 2z^2 + y - z) e como constantes.
A equação pode ser vista como:
O discriminante dessa equação é:

Passo 6

Para que existam soluções reais para 4y^2 - 4lambda (y^2 + 2z^2 + y - z) >= 0 , o discriminante deve ser maior ou igual a zero:
y^2 - lambda (y^2 + 2z^2 + y - z) >= 0
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:
Isso nos mostra que o valor de influencia se a expressão é positiva ou negativa, afetando a existência de soluções.

Passo 7

Resumindo, a dependência em relação a está em como ele escala o termo e, consequentemente, afeta o discriminante da equação quadrática. Dependendo do valor de , a equação pode ter diferentes comportamentos em termos de soluções possíveis para , considerando e .

Resposta

A análise mostra que o valor de afeta diretamente a existência e a natureza das soluções da equação quadrática. Dependendo de , a equação pode ter múltiplas soluções reais, uma única solução ou nenhuma solução real para , influenciando assim a dependência da equação em relação a .

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