Determinar uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano que contém as retas

e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos a equação geral e um sistema de equações paramétricas de um plano que contém duas retas dadas, e . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar um plano a partir de duas retas que o contêm e usar vetores para ajudar na construção das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as retas dadas:
A reta está definida por:
Podemos reescrever a reta em forma paramétrica. Vamos escolher como parâmetro:
A reta já está em forma paramétrica:

Passo 3

Para encontrar o plano que contém ambas as retas, precisamos de um ponto comum e de dois vetores que estejam no plano. Vamos identificar um ponto em comum nas retas e .
Vamos igualar os parâmetros das duas retas. Da reta , temos . Da reta , temos . Então, para que seja igual nas duas retas:
Agora, substituindo na equação de da reta :
E na reta :
Igualando as duas expressões de :
Isso é impossível, o que significa que as retas e não se intersectam. Portanto, precisamos encontrar dois vetores direcionais no plano e um ponto que pertença a para construir a equação do plano.

Passo 4

Vamos encontrar dois vetores diretores para o plano . Observando as retas e , podemos extrair seus vetores diretores:
Para a reta , o vetor diretor é dado pelos coeficientes de nas equações paramétricas:
Para a reta , o vetor diretor é:
Notamos que , o que indica que as retas são paralelas. Como as retas são paralelas e pertencem ao mesmo plano, qualquer ponto de uma reta mais um vetor diretor formará o plano.

Passo 5

Escolhemos um ponto em uma das retas para ser o ponto de referência no plano. Vamos pegar o ponto da reta quando :
Agora, precisamos de um vetor normal ao plano. Para isso, vamos encontrar um vetor que seja perpendicular aos vetores diretores e . Como é múltiplo de , precisamos de outro vetor no plano. Podemos considerar o vetor entre dois pontos diferentes das retas.
Vamos escolher um ponto na reta quando :
O vetor é:
Agora, o vetor normal ao plano pode ser encontrado pelo produto vetorial de e :

Passo 6

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação geral do plano usando a forma:
onde são as componentes do vetor normal e é o ponto .
Substituindo:
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 1 (já está simplificado):

Passo 7

Agora, vamos encontrar um sistema de equações paramétricas para o plano . Sabemos que o plano é definido por um ponto e dois vetores diretores. Já temos o ponto e os vetores e .
Assim, as equações paramétricas do plano são:
onde e são parâmetros reais.

Resposta

A equação geral do plano é:
E um sistema de equações paramétricas para o plano é:
onde e são números reais.

Exercícios relacionados

Em cada parte use a informaçăo dada para encontrar .
(b)
Verifique se o conjunto de vetores é linearmente independente e escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores do conjunto.
  1. Classifique as quádricas (completando quadrados ou fazendo rotações de eixos)
    i)
Seja um subconjunto de um espaço vetorial dotado de produto interno (usual).
(b) Encontre uma base ortonormal para a partir do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.