Determinar uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano pi que contém as retas
r:cy=x+1 z=-3 x-2
e s:cx=2 t y=3+2 t z=1-6 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos a equação geral e um sistema de equações paramétricas de um plano pi que contém duas retas dadas, r e s. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar um plano a partir de duas retas que o contêm e usar vetores para ajudar na construção das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as retas dadas:
A reta r está definida por:
y = x + 1 z = -3x - 2
Podemos reescrever a reta r em forma paramétrica. Vamos escolher x = t como parâmetro:
x = t y = t + 1 z = -3t - 2
A reta s já está em forma paramétrica:
x = 2t y = 3 + 2t z = 1 - 6t

Passo 3

Para encontrar o plano que contém ambas as retas, precisamos de um ponto comum e de dois vetores que estejam no plano. Vamos identificar um ponto em comum nas retas r e s.
Vamos igualar os parâmetros das duas retas. Da reta r, temos x = t. Da reta s, temos x = 2t'. Então, para que x seja igual nas duas retas:
t = 2t'
Agora, substituindo t = 2t' na equação de y da reta r:
y = 2t' + 1
E na reta s:
y = 3 + 2t'
Igualando as duas expressões de y:
2t' + 1 = 3 + 2t' Rightarrow 1 = 3
Isso é impossível, o que significa que as retas r e s não se intersectam. Portanto, precisamos encontrar dois vetores direcionais no plano pi e um ponto que pertença a pi para construir a equação do plano.

Passo 4

Vamos encontrar dois vetores diretores para o plano pi. Observando as retas r e s, podemos extrair seus vetores diretores:
Para a reta r, o vetor diretor é dado pelos coeficientes de t nas equações paramétricas:
u = 1 1 -3
Para a reta s, o vetor diretor é:
v = 2 2 -6
Notamos que v = 2u, o que indica que as retas são paralelas. Como as retas são paralelas e pertencem ao mesmo plano, qualquer ponto de uma reta mais um vetor diretor formará o plano.

Passo 5

Escolhemos um ponto em uma das retas para ser o ponto de referência no plano. Vamos pegar o ponto P da reta r quando t = 0:
P = (0, 1, -2)
Agora, precisamos de um vetor normal ao plano. Para isso, vamos encontrar um vetor que seja perpendicular aos vetores diretores u e v. Como v é múltiplo de u, precisamos de outro vetor no plano. Podemos considerar o vetor entre dois pontos diferentes das retas.
Vamos escolher um ponto Q na reta s quando t=0:
Q = (0, 3, 1)
O vetor PQ é:
PQ = Q - P = 0 - 0 3 - 1 1 - (-2) = 0 2 3
Agora, o vetor normal n ao plano pode ser encontrado pelo produto vetorial de u e PQ:
n = u times PQ = i & j & k 1 & 1 & -3 0 & 2 & 3 = i(1 cdot 3 - (-3) cdot 2) - j(1 cdot 3 - (-3) cdot 0) + k(1 cdot 2 - 1 cdot 0)
n = i(3 + 6) - j(3 - 0) + k(2 - 0) = 9i - 3j + 2k
n = 9 -3 2

Passo 6

Com o vetor normal n = 9 -3 2 e o ponto P = (0, 1, -2), podemos escrever a equação geral do plano usando a forma:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal n e (x0, y0, z0) é o ponto P.
Substituindo:
9(x - 0) - 3(y - 1) + 2(z + 2) = 0
Simplificando:
9x - 3y + 3 + 2z + 4 = 0
9x - 3y + 2z + 7 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 1 (já está simplificado):
9x - 3y + 2z + 7 = 0

Passo 7

Agora, vamos encontrar um sistema de equações paramétricas para o plano pi. Sabemos que o plano é definido por um ponto e dois vetores diretores. Já temos o ponto P = (0, 1, -2) e os vetores u = 1 1 -3 e PQ = 0 2 3 .
Assim, as equações paramétricas do plano são:
x = 0 + 1 cdot s + 0 cdot t = s y = 1 + 1 cdot s + 2 cdot t z = -2 - 3 cdot s + 3 cdot t
onde s e t são parâmetros reais.

Resposta

A equação geral do plano pi é:
9x - 3y + 2z + 7 = 0
E um sistema de equações paramétricas para o plano pi é:
x = s y = 1 + s + 2t z = -2 - 3s + 3t
onde s e t são números reais.

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