Determinar uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano que contém as retas
e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos a equação geral e um sistema de equações paramétricas de um plano que contém duas retas dadas, e . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar um plano a partir de duas retas que o contêm e usar vetores para ajudar na construção das equações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as retas dadas:
A reta está definida por:
Podemos reescrever a reta em forma paramétrica. Vamos escolher como parâmetro:
A reta já está em forma paramétrica:
Passo 3
Para encontrar o plano que contém ambas as retas, precisamos de um ponto comum e de dois vetores que estejam no plano. Vamos identificar um ponto em comum nas retas e .
Vamos igualar os parâmetros das duas retas. Da reta , temos . Da reta , temos . Então, para que seja igual nas duas retas:
Agora, substituindo na equação de da reta :
E na reta :
Igualando as duas expressões de :
Isso é impossível, o que significa que as retas e não se intersectam. Portanto, precisamos encontrar dois vetores direcionais no plano e um ponto que pertença a para construir a equação do plano.
Passo 4
Vamos encontrar dois vetores diretores para o plano . Observando as retas e , podemos extrair seus vetores diretores:
Para a reta , o vetor diretor é dado pelos coeficientes de nas equações paramétricas:
Para a reta , o vetor diretor é:
Notamos que , o que indica que as retas são paralelas. Como as retas são paralelas e pertencem ao mesmo plano, qualquer ponto de uma reta mais um vetor diretor formará o plano.
Passo 5
Escolhemos um ponto em uma das retas para ser o ponto de referência no plano. Vamos pegar o ponto da reta quando :
Agora, precisamos de um vetor normal ao plano. Para isso, vamos encontrar um vetor que seja perpendicular aos vetores diretores e . Como é múltiplo de , precisamos de outro vetor no plano. Podemos considerar o vetor entre dois pontos diferentes das retas.
Vamos escolher um ponto na reta quando :
O vetor é:
Agora, o vetor normal ao plano pode ser encontrado pelo produto vetorial de e :
Passo 6
Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação geral do plano usando a forma:
onde são as componentes do vetor normal e é o ponto .
Substituindo:
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 1 (já está simplificado):
Passo 7
Agora, vamos encontrar um sistema de equações paramétricas para o plano . Sabemos que o plano é definido por um ponto e dois vetores diretores. Já temos o ponto e os vetores e .
Assim, as equações paramétricas do plano são:
onde e são parâmetros reais.
Resposta
A equação geral do plano é:
E um sistema de equações paramétricas para o plano é: