Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é assim:
Nossa missão aqui é primeiro classificar essa equação para entender qual método usar para solucioná-la. Vamos precisar lembrar de conceitos básicos sobre EDOs exatas e ver se conseguimos resolver essa equação com integração.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se essa EDO é exata. Uma equação na forma:
é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando :
Primeiro, derivamos em relação a :
Então,
Agora, calculando :
Derivamos em relação a :
Então,
Comparando as duas derivadas:
Vemos que:
Então, a equação não é exata.
Passo 4
Como a EDO não é exata, vamos verificar se ela é linear ou separável. Observando a equação:
Podemos reescrever para isolar :
Isso não se separa facilmente, então vamos tentar outra abordagem. Vamos verificar se a equação pode ser simplificada usando uma substituição.
Perceba que a presença de e sugere que podemos usar uma substituição envolvendo .
Passo 5
Vamos fazer a substituição . Então, a derivada de em relação a é:
Vamos substituir na equação original:
Simplificando:
Mas, lembrando que , temos . Então:
Passo 6
Agora, a equação ficou em termos de e :
Vamos reorganizar para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial que podemos escrever como:
Ainda não está muito simples, mas percebemos que é uma equação de Bernoulli. Vamos tentar resolver.
Passo 7
Observando a equação , podemos rearranjar:
Essa forma sugere que pode ser uma equação separável. Vamos tentar separar as variáveis e :
Agora, podemos integrar ambos os lados.
Passo 8
Integrando:
Lembrando que:
Então:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde é uma constante de integração.
Passo 9
Vamos simplificar a expressão. Exponenciando ambos os lados:
Onde é uma constante.
Então:
Podemos absorver na constante geral, então:
Passo 10
Lembrando que , substituímos de volta:
Podemos deixar a solução assim ou isolar se necessário. Porém, essa é uma forma implícita da solução geral da EDO.