Classifique e resolva as EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar e resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Primeiro, vamos identificar de que tipo de equação estamos lidando e que ferramentas vamos precisar para resolver isso.
Passo 2
A EDO que temos é do primeiro grau, porque a derivada de
é de primeira ordem (
). Além disso, ela possui um termo que é
, o que nos indica que se trata de uma equação de Bernoulli. As equações de Bernoulli têm a forma geral:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição que transforma a equação numa forma linear. A substituição comum é:
Como
, então:
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
da EDO original na expressão da derivada de
:
Simplificando:
Lembrando que
, podemos reescrever:
Agora, temos uma equação linear em
.
Passo 5
Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante. Calculamos o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação pela
:
A esquerda agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados:
A integral do lado direito é
, então:
Dividindo por
:
Passo 6
Lembrando que
, temos:
Invertendo os dois lados para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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(a) .
(a)
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