Classifique e resolva as EDOs: y' + 3xy = xy^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar e resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Primeiro, vamos identificar de que tipo de equação estamos lidando e que ferramentas vamos precisar para resolver isso.

Passo 2

A EDO que temos é do primeiro grau, porque a derivada de é de primeira ordem ( ). Além disso, ela possui um termo que é , o que nos indica que se trata de uma equação de Bernoulli. As equações de Bernoulli têm a forma geral:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição que transforma a equação numa forma linear. A substituição comum é:
Como , então:
Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo da EDO original na expressão da derivada de :
Simplificando:
Lembrando que , podemos reescrever:
Agora, temos uma equação linear em .

Passo 5

Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante. Calculamos o fator integrante :
Multiplicando toda a equação pela :
A esquerda agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados:
A integral do lado direito é , então:
Dividindo por :

Passo 6

Lembrando que , temos:
Invertendo os dois lados para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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