Classifique e resolva as EDOs: x y dx - 3(y - 2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar e resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com EDOs de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar identificar que tipo de EDO ela é e aplicar o método apropriado para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos colocar todos os termos do lado esquerdo e igualar a zero:
Para facilitar, vamos dividir ambos os lados por , assumindo que :
Isso nos dá:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos tentar simplificar a equação. Podemos reescrever como:
Observamos que a equação está na forma:
Isso sugere que a equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis e para integrar ambos os lados.

Passo 4

Vamos proceder com a separação das variáveis. Reescrevemos a equação para isolar e :
Aqui, multiplicamos ambos os lados por para separar as variáveis.

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Primeiro, simplificamos a integral do lado esquerdo:
Então, a integral fica:

Passo 6

Calculamos as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:

Passo 7

Igualando as duas integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 8

Essa é a solução implícita da EDO. Se quisermos deixar a solução explícita, provavelmente teremos que resolver para , o que pode não ser trivial devido à presença do termo . Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
Onde é a constante de integração.

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