Classifique e resolva as EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar e resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com EDOs de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar identificar que tipo de EDO ela é e aplicar o método apropriado para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos colocar todos os termos do lado esquerdo e igualar a zero:
Para facilitar, vamos dividir ambos os lados por
, assumindo que
:
Isso nos dá:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos tentar simplificar a equação. Podemos reescrever
como:
Observamos que a equação está na forma:
Isso sugere que a equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados.
Passo 4
Vamos proceder com a separação das variáveis. Reescrevemos a equação para isolar
e
:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
para separar as variáveis.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Primeiro, simplificamos a integral do lado esquerdo:
Então, a integral fica:
Passo 6
Calculamos as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 7
Igualando as duas integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 8
Essa é a solução implícita da EDO. Se quisermos deixar a solução explícita, provavelmente teremos que resolver para
, o que pode não ser trivial devido à presença do termo
. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
Onde
é a constante de integração.
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(a)
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