Classifique e resolva as EDOs: d/y = (x y) / (x^2 + 2 y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente classificar e resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Vamos utilizar conhecimentos de EDOs de primeira ordem, especificamente sobre equações homogêneas e substituições para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a EDO é homogênea. Uma equação é homogênea se podemos expressar todos os termos em função de . Nesse caso, sim, a equação é homogênea porque os termos no numerador e denominador possuem o mesmo grau.

Passo 3

Como a EDO é homogênea, vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituímos e na equação original:

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para isolar :

Passo 6

Agora, separamos as variáveis e :

Passo 7

Integramos ambos os lados da equação:

Passo 8

Calculamos as integrais:

Passo 9

Substituímos de volta na equação:

Passo 10

Simplificamos a equação para obter a solução geral:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é a constante de integração.

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