Classifique e resolva as EDOs: x dx + y e^(-x^2) dy = 0

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é: . Vamos classificar esta equação e resolver. Para isso, vamos precisar entender conceitos de EDOs exatas e métodos para torná-las exatas, se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a EDO é exata. Uma equação diferencial do tipo é exata se der .
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Geralmente, procuramos um fator integrante que depende apenas de ou apenas de .
Vamos tentar um fator integrante . Multiplicando a equação original por :
Para que a equa��ão seja exata, deve valer:
Calculando as derivadas:
Simplificando:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial para :
Esta é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o método de separação de variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Podemos simplificar, assumindo :

Passo 5

Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Esta nova equação é exata, pois e , satisfazendo a condição de exatidão.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Fazendo a substituição , , obtemos:
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Portanto, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da EDO é , onde é uma constante.

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