Classifique e resolva as EDOs:
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
. Vamos classificar esta equação e resolver. Para isso, vamos precisar entender conceitos de EDOs exatas e métodos para torná-las exatas, se necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a EDO é exata. Uma equação diferencial do tipo
é exata se der
.
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Geralmente, procuramos um fator integrante que depende apenas de
ou apenas de
.
Vamos tentar um fator integrante
. Multiplicando a equação original por
:
Para que a equa��ão seja exata, deve valer:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Esta é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o método de separação de variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Podemos simplificar, assumindo
:
Passo 5
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Esta nova equação é exata, pois
e
, satisfazendo a condição de exatidão.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, obtemos:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da EDO é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais dadas a seguir.
(a) .
(a)
Classifique e resolva as EDOs:
Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais
e
:
Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais
e
: