Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso envolve o conceito de derivadas parciais, que é usado quando a função depende de mais de uma variável. Para isso, vamos usar regras de derivação de funções trigonométricas e manipular frações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Passo 3
A função
pode ser escrita como
. Ao derivar em relação a
, o
é constante, então a derivada fica:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
pela regra da cadeia.
Passo 4
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
como constante.
Passo 6
A função
é
. Vamos usar a regra do quociente ou a regra do produto. Vamos reescrever a função como
para facilitar a derivação usando a regra do produto.
Passo 7
Aplicando a regra do produto:
A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
.
Passo 8
Substituindo as derivadas:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
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Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais
e
:
Classifique e resolva as EDOs:
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado:
(a)
(a)
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado: