Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y : f(x, y)=sen x yy^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e . Isso envolve o conceito de derivadas parciais, que é usado quando a função depende de mais de uma variável. Para isso, vamos usar regras de derivação de funções trigonométricas e manipular frações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.

Passo 3

A função partial fpartial x = cos(x y) cdot yy^2 pode ser escrita como . Ao derivar em relação a , o é constante, então a derivada fica:
Isso porque a derivada de em relação a é pela regra da cadeia.

Passo 4

Simplificando a expressão:
partial fpartial x = cos(x y)y

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como constante.

Passo 6

A função é . Vamos usar a regra do quociente ou a regra do produto. Vamos reescrever a função como para facilitar a derivação usando a regra do produto.

Passo 7

Aplicando a regra do produto:
partial fpartial y = partialpartial y [sin(x y)] cdot y^-2 + sin(x y) cdot partialpartial y [y^-2]
A derivada de em relação a é e a derivada de é .

Passo 8

Substituindo as derivadas:
partial fpartial y = cos(x y) cdot x cdot y^-2 + sin(x y) cdot (-2 y^-3)

Passo 9

Simplificando a expressão:
partial fpartial y = x cos(x y)y^2 - 2 sin(x y)y^3

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = cos(x y)y são:
partial fpartial y = x cos(x y)y^2 - 2 sin(x y)y^3

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