Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y : f(x, y)=raizx^4+y^4+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de uma função em relação a e . O conteúdo aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = (x^4 + y^4 + 1)^12 em relação a partial fpartial x = 12(x^4 + y^4 + 1)^-12 cdot 4x^3 , ou seja, partial fpartial x = 2x^3raizx^4 + y^4 + 1 .
A função é .
Para derivar isso em relação a , usamos a regra da cadeia. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de , então:
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = (x^4 + y^4 + 1)^12 em relação a partial fpartial y = 12(x^4 + y^4 + 1)^-12 cdot 4y^3 , ou seja, partial fpartial y = 2y^3raizx^4 + y^4 + 1 .
Usamos o mesmo processo da regra da cadeia:
Derivando em relação a :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = 2x^3raizx^4 + y^4 + 1
e
partial fpartial y = 2y^3raizx^4 + y^4 + 1

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