Beleza, vamos começar entendendo qual é o problema que temos aqui. O enunciado nos dá uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) na forma:
Estamos no campo de Equações Diferenciais e precisamos classificar e resolver essa EDO. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo da equação e aplicar a técnica apropriada, que pode incluir separação de variáveis, fator integrante ou substituições específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação do tipo:
Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Isso nos dá a forma padrão da equação diferencial, onde é igual a uma função de e .
Passo 3
Agora, vamos classificar a EDO. Observamos que a equação não é linear porque o termo faz com que a equação seja não linear. Além disso, não é exata diretamente, então precisamos procurar outra abordagem.
Passo 4
Uma boa estratégia para essa equação é usar a substituição de Bernoulli. A equação tem a forma:
Onde, no nosso caso, e . Para resolver, fazemos a substituição .
Passo 5
Com , derivamos ambos os lados em relação a :
Substituindo da equação original:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial linear para :
Vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral de é conhecida e resulta em:
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Lembrando que fizemos a substituição , substituímos de volta para encontrar :