Classifique e resolva as EDOs: (1 - x^2) dy - y^2 dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo qual é o problema que temos aqui. O enunciado nos dá uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) na forma:
Estamos no campo de Equações Diferenciais e precisamos classificar e resolver essa EDO. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo da equação e aplicar a técnica apropriada, que pode incluir separação de variáveis, fator integrante ou substituições específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação do tipo:
Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Isso nos dá a forma padrão da equação diferencial, onde é igual a uma função de e .

Passo 3

Agora, vamos classificar a EDO. Observamos que a equação não é linear porque o termo faz com que a equação seja não linear. Além disso, não é exata diretamente, então precisamos procurar outra abordagem.

Passo 4

Uma boa estratégia para essa equação é usar a substituição de Bernoulli. A equação tem a forma:
Onde, no nosso caso, e . Para resolver, fazemos a substituição .

Passo 5

Com , derivamos ambos os lados em relação a :
Substituindo da equação original:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial linear para :
Vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral de é conhecida e resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição , substituímos de volta para encontrar :
Resolvendo para :

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é a constante de integração.

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