Um vaso tem a forma gerada pela revolução do gráfico de y = x^2 / 4 em torno do eixo y. Se 4 unidades cúbicas do líquido saem do fundo do vaso por minuto, a que taxa está a profundidade do líquido mudando no instante em que a profundidade é de 4 unidades?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vaso que foi formado girando o gráfico de ao redor do eixo . Isso significa que a forma do vaso é obtida pela rotação dessa parábola. A questão quer saber a que taxa a profundidade do líquido está mudando quando a profundidade é de 4 unidades, dado que 4 unidades cúbicas de líquido saem do fundo do vaso por minuto. Para resolver isso, vamos usar cálculo relacionado às taxas de variação, especificamente derivadas relacionadas ao volume de um sólido de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar o volume do líquido no vaso com a profundidade . Como o vaso é gerado pela rotação da curva em torno do eixo , podemos expressar o raio da base do vaso em função de . Rearranjando a equação:
Então, o raio em termos de é:

Passo 3

Agora, vamos expressar o volume do líquido no vaso em função da profundidade . Como estamos lidando com a rotação ao redor do eixo , usamos a fórmula do volume de um sólido de revolução por integração:
Substituindo :
Integrando:
Então, o volume em função da profundidade é:

Passo 4

Agora, queremos saber a taxa de variação da profundidade quando a profundidade é 4 unidades, dado que a taxa de saída do volume é de 4 unidades cúbicas por minuto. A relação entre as taxas é obtida derivando a equação do volume em relação ao tempo:

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos na equação :
Sabemos que (o volume está diminuindo) e . Então:
Simplificando:

Resposta

Resolvendo para :
Então, a profundidade do líquido está diminuindo a uma taxa de unidades por minuto quando a profundidade é de 4 unidades.

Exercícios relacionados

Determine o versor tangente T = r(t) / ||r(t)|| no ponto com valor do parâmetro t dado: r(t) = raiz(t) * i + (t - t^2) * j + arctg(t) * k, t = pi / 2.
Determine a derivada das funções vetoriais: r(t) = e^t cos(t) i + e^t sen(t) j + ln |t| k
Classifique e resolva as EDOs: (1 - x^2) dy - y^2 dx = 0
Classifique e resolva as EDOs: 2 x(x+y) dx + (x^2 + y^2) dy = 0