Classifique e resolva as EDOs: 2 x(x+y) dx + (x^2 + y^2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar e resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender se essa equação é exata, o que nos ajuda a encontrar uma solução direta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e :
Uma EDO na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como , a EDO é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 4

Vamos encontrar a função integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e aparece porque a integração em relação a pode incluir uma função de .

Passo 5

Para determinar , vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso nos dá:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Podemos multiplicar toda a equação por 3 para simplificar:
Onde ainda representa uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
Onde é uma constante real qualquer.

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