Classifique e resolva as EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar e resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender se essa equação é exata, o que nos ajuda a encontrar uma solução direta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
:
Uma EDO na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como
, a EDO é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar a função
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e aparece porque a integração em relação a
pode incluir uma função de
.
Passo 5
Para determinar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso nos dá:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Podemos multiplicar toda a equação por 3 para simplificar:
Onde
ainda representa uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
Onde
é uma constante real qualquer.
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(a)
(a)