Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
cx-2 y+3 z+t=10 x-y-2 t=-9 2 x-4 y+7 z=15 y+z-t=1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com quatro equações e quatro incógnitas:
c x - 2y + 3z + t = 10 x - y - 2t = -9 2x - 4y + 7z = 15 y + z - t = 1
Nosso objetivo é classificar esse sistema e resolver se for possível. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas de equações lineares e métodos de resolução como a eliminação de Gauss.

Passo 2

Vamos começar organizando o sistema em uma matriz aumentada, que facilita a aplicação do método de eliminação:
1 & -2 & 3 & 1 & | & 10 1 & -1 & 0 & -2 & | & -9 2 & -4 & 7 & 0 & | & 15 0 & 1 & 1 & -1 & | & 1
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna, uma variável, com a última coluna sendo os resultados das equações.

Passo 3

O próximo passo é eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos eliminar (1x - 1y - 2t) - (1x - 2y + 3z + 1t) = -9 - 10 das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
0x + y - 3z - 3t = -19 (Equação 5)
(2x - 4y + 7z) - 2(1x - 2y + 3z + 1t) = 15 - 20 çã
Subtraindo 2 vezes a Equação 1 da Equação 3:
0x + 0y + z - 2t = -5 (Equação 6)
c x - 2y + 3z + t = 10 y - 3z - 3t = -19 z - 2t = -5 y + z - t = 1 çã
Agora, nosso sistema atualizado fica:

Passo 4

Vamos focar nas Equações 3 e 6 para expressar z - 2t = -5 implies z = 2t - 5 em função de y - 3(2t - 5) - 3t = -19 .
Da Equação 6:
y - 6t + 15 - 3t = -19
Agora, substituímos y - 9t = -34 implies y = 9t - 34 na Equação 5:

Passo 5

Agora que temos y + z - t = 1 e (9t - 34) + (2t - 5) - t = 1 em termos de 9t - 34 + 2t - 5 - t = 1 , vamos substituir esses valores na Equação 4 para encontrar 10t - 39 = 1 .
Da Equação 4:
10t = 40 implies t = 4

Passo 6

Com y = 9(4) - 34 = 36 - 34 = 2 , encontramos z = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3 e x - 2(2) + 3(3) + 4 = 10 :
x - 4 + 9 + 4 = 10
x + 9 = 10 implies x = 1
Agora, substituímos , e na Equação 1 para encontrar :

Resposta

O sistema tem uma única solução:
x = 1, y = 2, z = 3, t = 4

Exercícios relacionados