Determine para que valores de os vetores de abaixo são L.I. ou L.D.
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir para quais valores de os vetores , e em são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante. Se o determinante formado por esses vetores for diferente de zero, eles são LI; se for zero, são LD.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com os vetores , e como colunas:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é dado por:
Aplicando isso na nossa matriz:
Vamos simplificar cada parte:
Substituindo na expressão:
Simplificando mais:

Passo 4

Para determinar quando os vetores são LI ou LD, analisamos o valor do determinante:
  • Se , os vetores são Linearmente Independentes (LI).
  • Se , os vetores são Linearmente Dependentes (LD).
Então, temos:

Resposta

Os vetores são linearmente independentes para todo valor de diferente de 8 e são linearmente dependentes quando .

Exercícios relacionados

Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Encontre um vetor em que gere a interseção de e , onde é o plano e é o espaço gerado pelos vetores e .
Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo: