Determine para que valores de k os vetores de R^3 abaixo são L.I. ou L.D.
u=(1,1,2), v=(-1,2,3) e w=(k,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir para quais valores de os vetores , e em são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante. Se o determinante formado por esses vetores for diferente de zero, eles são LI; se for zero, são LD.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com os vetores A = 1 & -1 & k 1 & 2 & -1 2 & 3 & 1 , e como colunas:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é dado por:
det(A) = 1 cdot (2 cdot 1 - (-1) cdot 3) - (-1) cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 2) + k cdot (1 cdot 3 - 2 cdot 2)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 1 cdot (2 - (-3)) - (-1) cdot (1 - (-2)) + k cdot (3 - 4)
Vamos simplificar cada parte:
  • det(A) = 1 cdot 5 + 1 cdot 3 + k cdot (-1) = 5 + 3 - k = 8 - k
Substituindo na expressão:
Simplificando mais:

Passo 4

Para determinar quando os vetores são LI ou LD, analisamos o valor do determinante:
  • Se 8 - k neq 0 Rightarrow k neq 8 (LI) , os vetores são Linearmente Independentes (LI).
  • Se 8 - k = 0 Rightarrow k = 8 (LD) , os vetores são Linearmente Dependentes (LD).
Então, temos:

Resposta

Os vetores são linearmente independentes para todo valor de diferente de 8 e são linearmente dependentes quando .

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