Determine para que valores de os vetores de abaixo são L.I. ou L.D. e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir para quais valores de os vetores , e em são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante. Se o determinante formado por esses vetores for diferente de zero, eles são LI; se for zero, são LD.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz com os vetores , e como colunas:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é dado por:
Aplicando isso na nossa matriz:
Vamos simplificar cada parte:
Substituindo na expressão:
Simplificando mais:
Passo 4
Para determinar quando os vetores são LI ou LD, analisamos o valor do determinante:
Se , os vetores são Linearmente Independentes (LI).
Se , os vetores são Linearmente Dependentes (LD).
Então, temos:
Resposta
Os vetores são linearmente independentes para todo valor de diferente de 8 e são linearmente dependentes quando .