Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. O enunciado nos pede para classificar o sistema e, se possível, encontrar sua solução. Estamos lidando com um sistema de equações lineares com quatro incógnitas: , , e . Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de variáveis e a análise da matriz dos coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
x + y + z - t = 2 2x - y - z - t = -1 x - 2y - 2z = -3 3x - 3y - 3z - t = -4
Nosso objetivo é simplificar esse sistema para descobrir se há uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna, uma incógnita, sendo a última coluna os termos constantes.
Passo 4
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Primeiro, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 2R1 Rightarrow 0x - 3y - 3z +1t = -5
Subtraindo a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - R1 Rightarrow 0x -3y -3z +1t = -5
Subtraindo 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
Vamos agora zerar o elemento abaixo de R3 = R3 + 6R2 Rightarrow 0x + 0y + 0z + 0t = 0 na terceira linha. Multiplicamos a segunda linha por 6 e somamos à terceira linha:
Agora, observamos que a terceira linha é equivalente a y + z - 13lambda = 53 Rightarrow y = 53 - z + 13lambda , o que não nos dá nova informação. Isso indica que o sistema tem infinitas soluções. Podemos expressar algumas variáveis em termos de outras.
Vamos escolher x + y + z - lambda = 2 Rightarrow x = 2 - y - z + lambda como parâmetro livre, digamos x = 2 - (53 - z + 13lambda) - z + lambda = 13 + 0z + 23lambda .
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Substituindo na equação de :
Resposta
O sistema possui infinitas soluções, que podem ser expressas em função de x = dfrac13 + dfrac23t y = dfrac53 - z + dfrac13t z = z t = t da seguinte forma:
Onde e são parâmetros livres que podem assumir quaisquer valores reais.