Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. O enunciado nos pede para classificar o sistema e, se possível, encontrar sua solução. Estamos lidando com um sistema de equações lineares com quatro incógnitas: , , e . Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de variáveis e a análise da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Nosso objetivo é simplificar esse sistema para descobrir se há uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna, uma incógnita, sendo a última coluna os termos constantes.

Passo 4

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Primeiro, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Subtraindo a primeira linha da terceira linha:
Subtraindo 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
A matriz fica assim:

Passo 5

Observamos que a segunda e terceira linhas são iguais. Isso significa que uma delas é redundante. Vamos remover a terceira linha:
Agora, vamos simplificar a quarta linha. Dividimos a segunda linha por -3 para facilitar:
A matriz fica:

Passo 6

Vamos agora zerar o elemento abaixo de na terceira linha. Multiplicamos a segunda linha por 6 e somamos à terceira linha:
A matriz final fica:

Passo 7

Agora, observamos que a terceira linha é equivalente a , o que não nos dá nova informação. Isso indica que o sistema tem infinitas soluções. Podemos expressar algumas variáveis em termos de outras.
Vamos escolher como parâmetro livre, digamos .
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Substituindo na equação de :

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, que podem ser expressas em função de da seguinte forma:
Onde e são parâmetros livres que podem assumir quaisquer valores reais.

Exercícios relacionados

Determine para que valores de os vetores de abaixo são L.I. ou L.D.
e
Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Sejam , . Nos ítens abaixo, clacule a matriz indicada (se possível).
(a) ;