Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Passo 1
Beleza, então a gente tem um sistema de equações com quatro variáveis: , , e . O objetivo aqui é classificar esse sistema, ou seja, ver se ele tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Se der pra resolver, a gente também vai encontrar os valores de , , e . Para isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação, e a matriz aumentada para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
x - y + z + t = 4 2x - y - z = -3 x - 2y + t = 1 5x + z - t = 4
Nosso objetivo é encontrar valores para , , e que satisfaçam todas essas equações ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Isso vai nos ajudar a aplicar o método de eliminação de Gauss para resolver o sistema.
Passo 4
Vamos come��ar eliminando Equação 2: & 2x - y - z = -3 - 2 times (Equação 1: x - y + z + t = 4) Rightarrow & -2x + 2y - 2z - 2t = -8 hline & y - 3z - 2t = -11 das equações abaixo da primeira. Para a segunda equação, subtraímos 2 vezes a primeira equação da segunda:
çãçã
Fazemos o mesmo para a terceira e quarta equações.
Passo 5
Agora, eliminamos Equação 3: & x - 2y + t = 1 - (Equação 1: x - y + z + t = 4) Rightarrow & -x + y - z - t = -4 hline & -y - z = -3 da terceira equação. Subtraímos a primeira equação da terceira:
çãçã
Fazemos a mesma coisa para a quarta equação: subtraímos 5 vezes a primeira equação da quarta.
Passo 6
Eliminando Equação 4: & 5x + z - t = 4 - 5 times (Equação 1: x - y + z + t = 4) Rightarrow & -5x + 5y - 5z - 5t = -20 hline & 5y - 4z - 6t = -16 da quarta equação:
y - 3z - 2t = -11 -y - z = -3 5y - 4z - 6t = -16 çãçã
Agora nosso sistema está simplificado para três equações sem :
Passo 7
Vamos resolver esse novo sistema de três equações. Primeiro, da segunda equação, podemos expressar -y - z = -3 Rightarrow y = -z + 3 em função de :
Agora, substituímos na primeira e terceira equações.
Passo 8
Substituindo (-z + 3) - 3z - 2t = -11 Rightarrow -4z - 2t = -14 Rightarrow 2z + t = 7 (Equação A) na primeira equação:
Vamos multiplicar a equação A por 2 para facilitar a eliminação de :
Agora, subtraímos a equação B dessa nova equação:
Passo 10
Com o valor de 2 times 113 + t = 7 Rightarrow 223 + t = 7 Rightarrow t = 7 - 223 = 213 - 223 = -13 , substituímos na equação A para encontrar :
Passo 11
Agora que temos y = -113 + 3 = -113 + 93 = -23 e , voltamos para :
Passo 12
Finalmente, substituímos todos os valores encontrados na primeira equação original para encontrar x - y + z + t = 4 x - (-23) + 113 + (-13) = 4 x + 23 + 103 = 4 x + 4 = 4 Rightarrow x = 0 :