Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Passo 1
Beleza, temos um sistema de três equações com três incógnitas: , e . Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente em Sistemas Lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de substituição ou eliminação para encontrar os valores de cada variável que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.
Passo 2
Vamos começar observando as equações:
x + 3y - z = 2 (1) x - y + 3z = 4 (2) 3x + y + 5z = 10 (3)
Primeiro, vamos eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos eliminar o subtraindo a equação (1) da equação (2).
Passo 3
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
(x - y + 3z) - (x + 3y - z) = 4 - 2
Simplificando:
-4y + 4z = 2
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
-2y + 2z = 1 (4)
Passo 4
Agora, vamos eliminar 3x + y + 5z - 3(x + 3y - z) = 10 - 3 times 2 novamente, desta vez subtraindo 3 vezes a equação (1) da equação (3):
3x + y + 5z - 3x - 9y + 3z = 10 - 6
Simplificando:
-8y + 8z = 4
-2y + 2z = 1 (5)
Dividindo todos os termos por 4:
Passo 5
Observamos que as equações (4) e (5) são iguais:
-2y + 2z = 1
Isso significa que temos uma equação redundante, então vamos usar a equação (1) e a equação (2) para encontrar as variáveis restantes.
Passo 6
Da equação (4):
-2y + 2z = 1 Rightarrow -y + z = 12 (6)
Vamos isolar z = y + 12 :
Passo 7
Agora, substituímos x + 3y - (y + 12) = 2 na equação (1):
x + 2y - 12 = 2
Simplificando:
x + 2y = 52
x = 52 - 2y (7)
Passo 8
Substituímos (52 - 2y) - y + 3(y + 12) = 4 e 52 - 3y + 3y + 32 = 4 na equação (2):
5 = 4
Simplificando:
Isso não faz sentido, indicando que há um erro na simplificação. Vamos revisar os cálculos anteriores.
Passo 9
Revisando a substituição na equação (2):
(52 - 2y) - y + 3(y + 12) = 4
52 - 2y - y + 3y + 32 = 4
52 + 32 = 4
4 = 4
Isso mostra que as equações são consistentes, mas precisamos encontrar os valores de e .
Passo 10
Vamos atribuir um valor a z = 0 + 12 = 12 para encontrar x = 52 - 2(0) = 52 e . Como temos uma equação com duas variáveis, podemos escolher um valor para uma delas.