Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas: , , e . O objetivo é descobrir se esse sistema tem uma solução única, múltiplas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que envolve manipular as equações para simplificar e encontrar os valores das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a visualização:
x - y + z + t = 4 (1) 2x - y - z = -3 (2) x - 2y + t = 1 (3) 5x + z - t = 5 (4)
Passo 3
Vamos tentar eliminar uma das variáveis começando por t = 4 - x + y - z (5) . Observando as equações (1), (3) e (4), a variável aparece de forma simples. Vamos isolar na equação (1):
Passo 4
Agora, substituímos a expressão de x - 2y + (4 - x + y - z) = 1 da equação (5) nas equações (3):
x - 2y + 4 - x + y - z = 1
- y - z = -3 (6)
Passo 5
Agora, temos uma nova equação (6) que relaciona 2x - y - z = -3 (2) e - y - z = -3 (6) . Vamos usar essa equação junto com a equação (2):
Percebe-se que ambas as equações são iguais, o que nos indica que não teremos mais informações novas a partir delas. Vamos então focar nas equações restantes para encontrar outra relação.
Passo 6
Vamos usar a equação (4) e a expressão de 5x + z - (4 - x + y - z) = 5 da equação (5):
5x + z - 4 + x - y + z = 5
6x - y + 2z = 9 (7)
Passo 7
Agora, temos duas equações com três variáveis:
- y - z = -3 (6)
6x - y + 2z = 9 (7)
Vamos resolver a equação (6) para - y - z = -3 implies y = -z + 3 (8) :
Passo 8
Substituímos 6x - (-z + 3) + 2z = 9 da equação (8) na equação (7):
6x + z - 3 + 2z = 9
6x + 3z = 12 (9)
2x + z = 4 (10)
Dividindo tudo por 3:
Passo 9
Agora, podemos expressar z = 4 - 2x (11) em termos de :
Passo 10
Com y = -z + 3 = -(4 - 2x) + 3 = -4 + 2x + 3 = 2x - 1 (12) em mãos, voltamos à equação (8) para encontrar :
Passo 11
Agora, usamos as expressões de t = 4 - x + y - z = 4 - x + (2x - 1) - (4 - 2x) = 4 - x + 2x - 1 - 4 + 2x = 3x - 1 (13) e na equação (5) para encontrar :
Passo 12
Até agora, temos expressões para x = lambda , y = 2lambda - 1 e z = 4 - 2lambda em termos de t = 3lambda - 1 . Como não há mais equações para limitar , podemos escolher como um parâmetro livre. Vamos chamar , onde pode ser qualquer número real.
Então:
Resposta
O sistema possui infinitas soluções, que podem ser expressas em função de um parâmetro x = lambda y = 2lambda - 1 z = 4 - 2lambda t = 3lambda - 1 para todo lambda in R . As soluções são: