Mostre que
é uma base de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de quatro matrizes
com números reais:
A questão quer que mostremos que esse conjunto é uma base para o espaço
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. Para isso, precisamos verificar dois pontos:
- Linearidade Independente: As matrizes não podem ser escritas como combinações lineares umas das outras.
- Geração do Espaço: Qualquer matriz
pode ser escrita como uma combinação linear dessas quatro matrizes.
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para verificar se as matrizes são linearmente independentes, precisamos assumir uma combinação linear delas igual a zero e mostrar que os coeficientes dessa combinação devem todos ser zero.
Ou seja, queremos encontrar os escalares
tais que:
[
a_1
+
a_2
+
a_3
+
a_4
]
Passo 3
Vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes e somar:
[
+
+
+
]
Passo 4
Agora, somamos as matrizes resultantes:
[
]
Passo 5
Isso nos dá um sistema de quatro equações:
Passo 6
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
.
Começamos pela terceira equação:
Passo 7
Substituímos
na primeira e segunda equações:
Simplificando:
Passo 8
Agora, temos:
Vamos somar estas duas equações:
Passo 9
Com
, voltamos para a terceira equação:
E para a primeira equação simplificada:
Substituindo na segunda equação simplificada:
Passo 10
Isso nos mostra que todas as variáveis são iguais a zero:
Resposta
Como a única solução para a combinação linear ser zero é
, concluímos que as matrizes dadas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de
.