Mostre que (cc2 & 3 -1 & 0),(cc1 & -1 0 & -2),(cc-3 & -2 1 & -1),(cc3 & -7 -2 & 5) é uma base de M2(R).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de quatro matrizes 2 & 3 -1 & 0 , 1 & -1 0 & -2 , -3 & -2 1 & -1 , 3 & -7 -2 & 5 com números reais:
A questão quer que mostremos que esse conjunto é uma base para o espaço , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Para isso, precisamos verificar dois pontos:
  1. Linearidade Independente: As matrizes não podem ser escritas como combinações lineares umas das outras.
  2. Geração do Espaço: Qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear dessas quatro matrizes.
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para verificar se as matrizes são linearmente independentes, precisamos assumir uma combinação linear delas igual a zero e mostrar que os coeficientes dessa combinação devem todos ser zero.
Ou seja, queremos encontrar os escalares a1 2 & 3 -1 & 0 + a2 1 & -1 0 & -2 + a3 -3 & -2 1 & -1 + a4 3 & -7 -2 & 5 = 0 & 0 0 & 0 tais que:

[
a_1

+
a_2

+
a_3

+
a_4


]

Passo 3

Vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes e somar:

[
2a1 & 3a1 -1a1 & 0a1 + 1a2 & -1a2 0a2 & -2a2 + -3a3 & -2a3 1a3 & -1a3 + 3a4 & -7a4 -2a4 & 5a4 = 0 & 0 0 & 0
+

+

+


]

Passo 4

Agora, somamos as matrizes resultantes:

[
2a1 + 1a2 - 3a3 + 3a4 & 3a1 - 1a2 - 2a3 -7a4 -1a1 + 0a2 + 1a3 -2a4 & 0a1 -2a2 -1a3 +5a4 = 0 & 0 0 & 0


]

Passo 5

Isso nos dá um sistema de quatro equações:

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de -a1 + a3 - 2a4 = 0 implies a1 = a3 - 2a4 .
Começamos pela terceira equação:

Passo 7

Substituímos na primeira e segunda equações:
Simplificando:

Passo 8

Agora, temos:
  1. (-a3 - a4 + a2) + (a3 - a2 - 13a4) = 0 + 0 implies -14a4 = 0 implies a4 = 0
Vamos somar estas duas equações:

Passo 9

Com a1 = a3 - 2(0) implies a1 = a3 , voltamos para a terceira equação:
-a3 - 0 + a2 = 0 implies a2 = a3
E para a primeira equação simplificada:
a3 - a2 - 13(0) = 0 implies a3 - a3 = 0 implies 0 = 0
Substituindo na segunda equação simplificada:

Passo 10

Isso nos mostra que todas as variáveis são iguais a zero:
a4 = 0, a3 = 0, a2 = 0, a1 = 0

Resposta

Como a única solução para a combinação linear ser zero é , concluímos que as matrizes dadas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .

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