Se
e
são vetores de um espaço vetorial
tais que
e
, mostrar que
é L.D.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é que temos três vetores,
,
e
, num espaço vetorial
. A matrícula diz que tanto
quanto
estão no “espaço gerado” por
, que a gente escreve como
e
. Nosso objetivo é mostrar que os vetores
são linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e definição de dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que um vetor está no espaço gerado por outro. Quando dizemos que
, isso quer dizer que
pode ser escrito como uma combinação linear de
. Mas como só tem o
, a combinação linear é bem simples:
onde
é um escalar.
Passo 3
Do mesmo jeito, já que
, conseguimos escrever:
onde
é outro escalar. Então, tanto
quanto
são múltiplos de
.
Passo 4
Agora, para verificar se
é um conjunto de vetores linearmente dependentes, precisamos ver se existe uma combinação linear desses vetores que dá o vetor zero, onde nem todos os coeficientes são zero. Ou seja, queremos encontrar escalares
e
, não ambos zero, tais que:
Passo 5
Substituindo
e
pelas expressões que encontramos:
Fatorando
:
Passo 6
Como
é um vetor no espaço vetorial
, podemos assumir que
(caso contrário, todos os vetores seriam zero e a dependência seria trivial). Então, para que a equação acima seja verdadeira, precisamos que:
Isso é uma equação linear com duas incógnitas,
e
, que sempre tem soluções não triviais (ou seja, onde pelo menos um dos coeficientes não é zero).
Passo 7
Portanto, existe pelo menos uma solução onde
e
não são ambos zero, o que confirma que os vetores
são linearmente dependentes.
Resposta
Assim, mostramos que
é um conjunto de vetores linearmente dependentes.