Se u, v e w são vetores de um espaço vetorial V tais que u in[w] e v in[w], mostrar que u, v é L.D.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é que temos três vetores, , e , num espaço vetorial . A matrícula diz que tanto quanto estão no “espaço gerado” por , que a gente escreve como e . Nosso objetivo é mostrar que os vetores são linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e definição de dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que um vetor está no espaço gerado por outro. Quando dizemos que u = alpha w , isso quer dizer que pode ser escrito como uma combinação linear de . Mas como só tem o , a combinação linear é bem simples:
onde é um escalar.

Passo 3

Do mesmo jeito, já que v = beta w , conseguimos escrever:
onde é outro escalar. Então, tanto quanto são múltiplos de .

Passo 4

Agora, para verificar se c1 u + c2 v = 0 é um conjunto de vetores linearmente dependentes, precisamos ver se existe uma combinação linear desses vetores que dá o vetor zero, onde nem todos os coeficientes são zero. Ou seja, queremos encontrar escalares e , não ambos zero, tais que:

Passo 5

Substituindo c1 (alpha w) + c2 (beta w) = 0 e (c1 alpha + c2 beta) w = 0 pelas expressões que encontramos:
Fatorando :

Passo 6

Como c1 alpha + c2 beta = 0 é um vetor no espaço vetorial , podemos assumir que (caso contrário, todos os vetores seriam zero e a dependência seria trivial). Então, para que a equação acima seja verdadeira, precisamos que:
Isso é uma equação linear com duas incógnitas, e , que sempre tem soluções não triviais (ou seja, onde pelo menos um dos coeficientes não é zero).

Passo 7

Portanto, existe pelo menos uma solução onde e não são ambos zero, o que confirma que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Assim, mostramos que é um conjunto de vetores linearmente dependentes.

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