Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
cx+3 y-z=-1 2 x-y-2 z=-2 x-2 y+z=3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A gente tem um sistema de três equações lineares com três incógnitas: , e . O objetivo é classificar esse sistema (ver se ele tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma) e, se possível, encontrar a solução. Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como a eliminação de Gauss. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação dos métodos de resolução. O sistema é:
x + 3y - z = -1 2x - y - 2z = -2 x - 2y + z = 3
A matriz aumentada fica assim:
1 & 3 & -1 & | & -1 2 & -1 & -2 & | & -2 1 & -2 & 1 & | & 3

Passo 3

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz e encontrar as soluções. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, onde conseguimos facilmente resolver as incógnitas.
Primeiro, vamos eliminar o 2 times (1) - (2) Rightarrow 2x + 6y - 2z - (2x - y - 2z) = 2 times (-1) - (-2) das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Para a equação 2:
  • Multiplicamos a equação 1 por 2 e subtraímos da equação 2.
2x + 6y - 2z - 2x + y + 2z = -2 + 2
7y = 0 Rightarrow y = 0
(3) - (1) Rightarrow x - 2y + z - (x + 3y - z) = 3 - (-1)
Para a equação 3:
  • Subtraímos a equação 1 da equação 3.
-5y + 2z = 4
1 & 3 & -1 & | & -1 0 & 7 & 0 & | & 0 0 & -5 & 2 & | & 4
Agora, nossa matriz fica:

Passo 4

Com -5(0) + 2z = 4 Rightarrow 2z = 4 Rightarrow z = 2 , vamos substituir esse valor na equação modificada 3 para encontrar x + 3(0) - (2) = -1 Rightarrow x - 2 = -1 Rightarrow x = 1 .
Agora, temos e . Vamos usar esses valores na equação 1 para encontrar .

Resposta

O sistema é independente e possui uma única solução:
x = 1, y = 0, z = 2

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