Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A gente tem um sistema de três equações lineares com três incógnitas: , e . O objetivo é classificar esse sistema (ver se ele tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma) e, se possível, encontrar a solução. Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como a eliminação de Gauss. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação dos métodos de resolução. O sistema é:
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz e encontrar as soluções. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, onde conseguimos facilmente resolver as incógnitas.
Primeiro, vamos eliminar o 2 times (1) - (2) Rightarrow 2x + 6y - 2z - (2x - y - 2z) = 2 times (-1) - (-2) das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Para a equação 2:
Multiplicamos a equação 1 por 2 e subtraímos da equação 2.
2x + 6y - 2z - 2x + y + 2z = -2 + 2
7y = 0 Rightarrow y = 0
(3) - (1) Rightarrow x - 2y + z - (x + 3y - z) = 3 - (-1)
Com -5(0) + 2z = 4 Rightarrow 2z = 4 Rightarrow z = 2 , vamos substituir esse valor na equação modificada 3 para encontrar x + 3(0) - (2) = -1 Rightarrow x - 2 = -1 Rightarrow x = 1 .
Agora, temos e . Vamos usar esses valores na equação 1 para encontrar .
Resposta
O sistema é independente e possui uma única solução: