Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma base e a dimensão do subespaço vetorial gerado pelos vetores , e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear, independência linear e matrizes para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se os vetores dados são linearmente independentes. Se eles forem, todos fazem parte da base. Caso contrário, vamos eliminar os que estão “repetindo informações”.
Passo 3
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Agora, vamos usar operações de linha para reduzir essa matriz e encontrar o posto dela, que nos dirá a dimensão de .
Passo 4
Vamos simplificar a matriz:
Deixar o primeiro elemento da primeira coluna como 1 (já está feito).
Eliminar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.
Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
Subtraia 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
1 & 0 & -2 0 & 0 & 0 0 & 2 & 4
Passo 5
Agora, olhe para a segunda linha: todos os elementos são zero, o que indica que o terceiro vetor pode ser uma combinação linear dos outros. Vamos continuar simplificando:
Troque a segunda e terceira linhas para facilitar.
1 & 0 & -2 0 & 2 & 4 0 & 0 & 0
Divida a segunda linha por 2 para deixar o 2 como 1.
1 & 0 & -2 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0
Passo 6
Agora, a matriz está em forma escalonada, e podemos ver que há 2 linhas não nulas. Isso significa que o posto da matriz é 2, então a dimensão de é 2.
Passo 7
Para encontrar uma base, pegamos os vetores correspondentes às linhas pivôs. No nosso caso, os primeiros dois vetores:
(1,2,3), (0,0,2)
são linearmente independentes e formam uma base para .