Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas: , e . Nosso objetivo aqui é resolver esse sistema, ou seja, encontrar os valores de , e que satisfazem todas as equações simultaneamente. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas, como substituição, eliminação ou matrizes. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma clara:
x + 2y - z = 2 (1) 2x - 3y + z = 0 (2) 4x + y - z = 4 (3)
Passo 3
Vamos usar o método de eliminação para simplificar o sistema. A ideia é eliminar uma das variáveis para reduzir o sistema a duas equações com duas incógnitas.
Passo 4
Vamos eliminar (x + 2y - z) + (2x - 3y + z) = 2 + 0 das equações. Para isso, vamos somar a equação (1) com a equação (2):
3x - y = 2 (4)
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos eliminar (4x + y - z) - (x + 2y - z) = 4 - 2 também usando a equação (1) e a equação (3). Vamos subtrair a equação (1) da equação (3):
3x - y = 2 (5)
Simplificando:
Curiosamente, temos a mesma equação (4) e (5), o que indica que uma das equações é dependente das outras. Isso significa que o sistema é indeterminado ou tem infinitas soluções. Vamos explorar isso.
Passo 6
Com as equações (4) e (5) sendo iguais, podemos considerar apenas uma delas, digamos a equação (4):
3x - y = 2 (4)
Vamos resolver para y = 3x - 2 :
2x - 3(3x - 2) + z = 0
Agora, vamos substituir 2x - 9x + 6 + z = 0 -7x + z = -6 z = 7x - 6 na equação (2) para encontrar :
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos x = t y = 3t - 2 z = 7t - 6 e em termos de . Isso significa que há infinitas soluções parametrizadas por . Vamos escolher como parâmetro :
Resposta
O sistema possui infinitas soluções, que podem ser expressas em função de um parâmetro x = t y = 3t - 2 z = 7t - 6 para todo t in R :