Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos mostrar que o plano , que consiste em todos os pontos da forma onde e são números reais, pode ser gerado pelos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente combinação linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que um conjunto de vetores gera um subespaço. Dizemos que os vetores e geram um subespaço se qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, para quaisquer e , existem escalares e tais que:
Passo 3
Agora, vamos montar a equação para resolver as componentes. Igualando as componentes de cada posição, temos:
A primeira equação é sempre verdadeira, então podemos nos concentrar nas duas últimas equações.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar e em termos de e .
Das duas equações:
Podemos resolver esse sistema substituindo uma equação na outra.
Passo 5
Vamos expressar da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Passo 6
Agora que temos , podemos encontrar :
Passo 7
Com e encontrados, concluímos que qualquer vetor pode ser escrito como:
Isso mostra que os vetores e realmente geram o plano .
Resposta
Portanto, o plano é gerado pelos vetores e , já que qualquer ponto pode ser expresso como uma combinação linear desses vetores.