Mostre que o plano , isto é, em é gerado por:
e ;

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos mostrar que o plano , que consiste em todos os pontos da forma onde e são números reais, pode ser gerado pelos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que um conjunto de vetores gera um subespaço. Dizemos que os vetores e geram um subespaço se qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, para quaisquer e , existem escalares e tais que:

Passo 3

Agora, vamos montar a equação para resolver as componentes. Igualando as componentes de cada posição, temos:
A primeira equação é sempre verdadeira, então podemos nos concentrar nas duas últimas equações.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar e em termos de e .
Das duas equações:
Podemos resolver esse sistema substituindo uma equação na outra.

Passo 5

Vamos expressar da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar :

Passo 7

Com e encontrados, concluímos que qualquer vetor pode ser escrito como:
Isso mostra que os vetores e realmente geram o plano .

Resposta

Portanto, o plano é gerado pelos vetores e , já que qualquer ponto pode ser expresso como uma combinação linear desses vetores.

Exercícios relacionados

Em cada parte, encontre um sistema linear correspondente à matriz aumentada dada:
Sejam , . Nos ítens abaixo, clacule a matriz indicada (se possível).
(h)
Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.