Mostre que o plano y z, isto é, W=(0, b, c) ; b, c in R em R^3 é gerado por:
(0,1,1) e (0,2,-1);

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos mostrar que o plano , que consiste em todos os pontos da forma onde e são números reais, pode ser gerado pelos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que um conjunto de vetores gera um subespaço. Dizemos que os vetores (0, b, c) = alpha (0,1,1) + beta (0,2,-1) e geram um subespaço se qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, para quaisquer e , existem escalares e tais que:

Passo 3

Agora, vamos montar a equação para resolver as componentes. Igualando as componentes de cada posição, temos:
0 = alpha cdot 0 + beta cdot 0 b = alpha cdot 1 + beta cdot 2 c = alpha cdot 1 + beta cdot (-1)
A primeira equação é sempre verdadeira, então podemos nos concentrar nas duas últimas equações.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar e em termos de e .
Das duas equações:
Podemos resolver esse sistema substituindo uma equação na outra.

Passo 5

Vamos expressar alpha = c + beta da segunda equação:
b = (c + beta) + 2beta = c + 3beta
Substituindo na primeira equação:
3beta = b - c beta = b - c3
Então:

Passo 6

Agora que temos alpha = c + beta = c + b - c3 = 3c + b - c3 = b + 2c3 , podemos encontrar :

Passo 7

Com (0, b, c) = (b + 2c3)(0,1,1) + (b - c3)(0,2,-1) e encontrados, concluímos que qualquer vetor pode ser escrito como:
Isso mostra que os vetores e realmente geram o plano .

Resposta

Portanto, o plano é gerado pelos vetores e , já que qualquer ponto pode ser expresso como uma combinação linear desses vetores.

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