Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações lineares com quatro equações e três incógnitas: , e . Isso significa que vamos trabalhar com álgebra linear para tentar descobrir se existe uma solução que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até chegar à solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
x + y - z = -1 (1) 2x + y - z = 1 (2) 3x + y + 2z = 5 (3) 4x + 2y + z = 4 (4)
Passo 3
Vamos eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos começar eliminando (2) - (1): (2x + y - z) - (x + y - z) = 1 - (-1) . Para isso, vamos subtrair a equação (1) da equação (2):
x = 2
Simplificando:
Passo 4
Agora que descobrimos que 2 + y - z = -1 , podemos substituir esse valor na equação (1) para encontrar uma relação entre y - z = -3 (5) e :
Isolando :
Passo 5
Vamos substituir 3(2) + y + 2z = 5 na equação (3):
6 + y + 2z = 5 y + 2z = -1 (6)
Simplificando:
Passo 6
Agora temos duas equações com duas incógnitas ( y - z = -3 (5) y + 2z = -1 (6) e (y + 2z) - (y - z) = -1 - (-3) ):
3z = 2 z = 23
Vamos eliminar . Subtraia a equação (5) da equação (6):
Simplificando:
Passo 7
Com o valor de y - 23 = -3 y = -3 + 23 y = -73 , podemos encontrar usando a equação (5):
Passo 8
Agora que temos 4(2) + 2(-73) + 23 = 8 - 143 + 23 = 8 - 123 = 8 - 4 = 4 , e , vamos verificar se esses valores satisfazem todas as quatro equações originais para garantir que o sistema é consistente e independente.