Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
(a)
é
é LI.
(b)
é LD
é LD.
©
é
é LD.
(d)
é LD, então
tanto pode ser LD como LI.
(e)
) é LI, então (
) tanto pode ser LD como LI.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre independência linear (LI) e dependência linear (LD) de vetores. Precisamos entender quando um conjunto de vetores é linearmente independente ou dependente para analisar as afirmações de (a) a (e).
Passo 2
Independência Linear (LI): Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear dos vetores resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero.
Dependência Linear (LD): Um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero.
Passo 3
(a)
é LI
é LI.
Falso. Mesmo que
seja linearmente independente, ao adicionar mais um vetor
, esse novo conjunto pode se tornar linearmente dependente se
puder ser escrito como combinação linear de
e
.
Passo 4
(b)
é LD
é LD.
Falso. A dependência de
significa que
pode ser escrito como combinação de
e
, mas isso não implica que
e
sejam dependentes entre si.
pode ainda ser um conjunto linearmente independente.
Passo 5
©
é LI
é LD.
Falso. Isso é uma contradição. Se
é linearmente independente, por definição, não pode ser linearmente dependente.
Passo 6
(d) Se
é LD, então
tanto pode ser LD como LI.
Verdadeiro. Se
é dependente, pode acontecer de
ser independente (e
ser combinação deles) ou
já ser dependente, o que faria todo o conjunto ser dependente.
Passo 7
(e) Se
é LI, então
tanto pode ser LD como LI.
Verdadeiro. Se
é linearmente independente, ao adicionar
, o novo conjunto pode continuar independente se
não é uma combinação linear de
e
, ou tornar-se dependente se
for uma combinação deles.
Resposta
- (a) Falso
- (b) Falso
- © Falso
- (d) Verdadeiro
- (e) Verdadeiro