Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
(a) (u, v) é LI Rightarrow(u, v, w) é LI.
(b) (u, v, w) é LD Rightarrow(u, v) é LD.
© (u, v) é LI Rightarrow(u, v) é LD.
(d) Se(u, v, w) é LD, então (u, v) tanto pode ser LD como LI.
(e) Se(u, v ) é LI, então ( u, v, w ) tanto pode ser LD como LI.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre independência linear (LI) e dependência linear (LD) de vetores. Precisamos entender quando um conjunto de vetores é linearmente independente ou dependente para analisar as afirmações de (a) a (e).

Passo 2

Independência Linear (LI): Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear dos vetores resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero.
Dependência Linear (LD): Um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero.

Passo 3

(a) é LI é LI.
Falso. Mesmo que seja linearmente independente, ao adicionar mais um vetor , esse novo conjunto pode se tornar linearmente dependente se puder ser escrito como combinação linear de e .

Passo 4

(b) é LD é LD.
Falso. A dependência de significa que pode ser escrito como combinação de e , mas isso não implica que e sejam dependentes entre si. pode ainda ser um conjunto linearmente independente.

Passo 5

© é LI é LD.
Falso. Isso é uma contradição. Se é linearmente independente, por definição, não pode ser linearmente dependente.

Passo 6

(d) Se é LD, então tanto pode ser LD como LI.
Verdadeiro. Se é dependente, pode acontecer de ser independente (e ser combinação deles) ou já ser dependente, o que faria todo o conjunto ser dependente.

Passo 7

(e) Se é LI, então tanto pode ser LD como LI.
Verdadeiro. Se é linearmente independente, ao adicionar , o novo conjunto pode continuar independente se não é uma combinação linear de e , ou tornar-se dependente se for uma combinação deles.

Resposta

  • (a) Falso
  • (b) Falso
  • © Falso
  • (d) Verdadeiro
  • (e) Verdadeiro

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