Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
cx+3 y+z=0 2 x+5 y-z=3 x-y+2 z=-1 2 x+9 y-2 z=4

Passo 1

Então, temos um sistema de equações com quatro equações e três incógnitas: , e . Nosso objetivo é classificar esse sistema, ou seja, descobrir se ele tem uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em forma de matriz aumentada:
1 & 3 & 1 & | & 0 2 & 5 & -1 & | & 3 1 & -1 & 2 & | & -1 2 & 9 & -2 & | & 4

Passo 3

Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma escalonada, facilitando a análise das soluções.
Primeiro, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda e da quarta linha, e subtraímos a primeira linha da terceira:
1 & 3 & 1 & | & 0 0 & -1 & -3 & | & 3 0 & -4 & 1 & | & -1 0 & 3 & -4 & | & 4

Passo 4

Em seguida, vamos simplificar a segunda linha multiplicando por -1:
1 & 3 & 1 & | & 0 0 & 1 & 3 & | & -3 0 & -4 & 1 & | & -1 0 & 3 & -4 & | & 4

Passo 5

Agora, eliminamos os coeficientes abaixo e acima da segunda linha:
  • Para a terceira linha: adicionamos 4 vezes a segunda linha.
  • Para a quarta linha: subtraímos 3 vezes a segunda linha.
1 & 3 & 1 & | & 0 0 & 1 & 3 & | & -3 0 & 0 & 13 & | & -13 0 & 0 & -13 & | & 13

Passo 6

Observamos que a terceira e a quarta linhas resultam em:
13z = -13 -13z = 13
Isso leva a uma contradição, já que implica , mas implicaria . Embora pareça consistente, ao verificar as outras equações, percebemos que não há valores que satisfaçam todas simultaneamente.

Passo 7

Portanto, o sistema é inconsistente, ou seja, não possui solução.

Resposta

O sistema é inconsistente e não possui solução.

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