Sejam U e W subespaços de P3(R) dados por U=a t^3+b t^2+c t+d ; a=b-c e W= a t^3+b t^2+c t+d ; d=a+b+c
Determine uma base para os espaços U e W.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois subespaços, e , do espaço de polinômios de grau até 3 com coeficientes reais, . Precisamos encontrar uma base para cada um desses subespaços.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especialmente conceitos de subespaços vetoriais e bases.
O que vamos precisar: Identificar condições que definem cada subespaço e encontrar vetores que satisfazem essas condições, de modo a formarem uma base.

Passo 2

Vamos começar com o subespaço U = a t^3 + b t^2 + c t + d ; a = b - c . Ele é definido por:
a = b - c
Isso significa que em qualquer polinômio de (b - c) t^3 + b t^2 + c t + d , o coeficiente de b(t^3 + t^2) + c(-t^3 + t) + d(1) ( ) é igual a .
Vamos expressar em termos de e :
Substituindo isso no polinômio, temos:
Agora, vamos reorganizar os termos para destacar os coeficientes livres ( , , e ):
Isso nos mostra que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios , e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros.
Considere uma combinação linear que resulte no elemento neutro (zero):
alpha(t^3 + t^2) + beta(-t^3 + t) + gamma(1) = 0
Isso resulta nas seguintes equações para cada potência de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
A única solução é , o que confirma que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 4

Portanto, uma base para o subespaço t^3 + t^2, -t^3 + t, 1 é formada pelos vetores:

Passo 5

Agora, vamos para o subespaço W = a t^3 + b t^2 + c t + d ; d = a + b + c . Ele é definido por:
d = a + b + c
Aqui, o coeficiente de a t^3 + b t^2 + c t + (a + b + c) ( a(t^3 + 1) + b(t^2 + 1) + c(t + 1) ) é igual à soma de , e .
Vamos expressar em termos de , e :
Substituindo isso no polinômio, temos:
Reorganizando os termos:
Isso nos mostra que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios , e .

Passo 6

Vamos verificar a independência linear desses polinômios. Consideremos:
alpha(t^3 + 1) + beta(t^2 + 1) + gamma(t + 1) = 0
Isso resulta nas seguintes equações:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
A única solução é , o que confirma que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 7

Portanto, uma base para o subespaço t^3 + 1, t^2 + 1, t + 1 é formada pelos vetores:

Resposta

Uma base para é e uma base para é .

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