Sejam
e
subespaços de
dados por
e
Determine uma base para os espaços
e
.
Determine uma base para os espaços
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois subespaços,
e
, do espaço de polinômios de grau até 3 com coeficientes reais,
. Precisamos encontrar uma base para cada um desses subespaços.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especialmente conceitos de subespaços vetoriais e bases.
O que vamos precisar: Identificar condições que definem cada subespaço e encontrar vetores que satisfazem essas condições, de modo a formarem uma base.
Passo 2
Vamos começar com o subespaço
. Ele é definido por:
Isso significa que em qualquer polinômio de
, o coeficiente de
(
) é igual a
.
Vamos expressar
em termos de
e
:
Substituindo isso no polinômio, temos:
Agora, vamos reorganizar os termos para destacar os coeficientes livres (
,
, e
):
Isso nos mostra que qualquer polinômio em
pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros.
Considere uma combinação linear que resulte no elemento neutro (zero):
Isso resulta nas seguintes equações para cada potência de
:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
A única solução é
, o que confirma que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 4
Portanto, uma base para o subespaço
é formada pelos vetores:
Passo 5
Agora, vamos para o subespaço
. Ele é definido por:
Aqui, o coeficiente de
(
) é igual à soma de
,
e
.
Vamos expressar
em termos de
,
e
:
Substituindo isso no polinômio, temos:
Reorganizando os termos:
Isso nos mostra que qualquer polinômio em
pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios
,
e
.
Passo 6
Vamos verificar a independência linear desses polinômios. Consideremos:
Isso resulta nas seguintes equações:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
A única solução é
, o que confirma que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 7
Portanto, uma base para o subespaço
é formada pelos vetores:
Resposta
Uma base para
é
e uma base para
é
.