Sejam e subespaços de dados por e
Determine uma base para os espaços e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois subespaços, e , do espaço de polinômios de grau até 3 com coeficientes reais, . Precisamos encontrar uma base para cada um desses subespaços.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especialmente conceitos de subespaços vetoriais e bases.
O que vamos precisar: Identificar condições que definem cada subespaço e encontrar vetores que satisfazem essas condições, de modo a formarem uma base.
Passo 2
Vamos começar com o subespaço . Ele é definido por:
Isso significa que em qualquer polinômio de , o coeficiente de () é igual a .
Vamos expressar em termos de e :
Substituindo isso no polinômio, temos:
Agora, vamos reorganizar os termos para destacar os coeficientes livres (, , e ):
Isso nos mostra que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios , e .
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros.
Considere uma combinação linear que resulte no elemento neutro (zero):
Isso resulta nas seguintes equações para cada potência de :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
A única solução é , o que confirma que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 4
Portanto, uma base para o subespaço é formada pelos vetores:
Passo 5
Agora, vamos para o subespaço . Ele é definido por:
Aqui, o coeficiente de () é igual à soma de , e .
Vamos expressar em termos de , e :
Substituindo isso no polinômio, temos:
Reorganizando os termos:
Isso nos mostra que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios , e .
Passo 6
Vamos verificar a independência linear desses polinômios. Consideremos:
Isso resulta nas seguintes equações:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
A única solução é , o que confirma que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 7
Portanto, uma base para o subespaço é formada pelos vetores: