Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais(com a soma e produto por escalar usuais):
Conjunto das funções contínuas de em .
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto das funções contínuas de em é um espaço vetorial, usando as operações de soma e multiplicação por escalar que conhecemos. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial e checar se esse conjunto as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde podemos realizar duas operações: adição e multiplicação por um escalar (número real, no nosso caso). Essas operações precisam obedecer a oito axiomas, como associatividade, existência de elemento neutro, etc.
Passo 3
No nosso caso, os “vetores” são funções contínuas de em . A soma de dois vetores (funções) é definida como para todo em . A multiplicação por um escalar é definida como .
Passo 4
Vamos verificar cada um dos oito axiomas:
Associatividade da soma: Para todas as funções , . Isso é verdade porque a soma de funções é associativa.
Elemento neutro da soma: Existe uma função tal que para toda função . A função zero, onde para todo , atua como neutro.
Elemento inverso da soma: Para toda função , existe uma função tal que . A função definida por serve como inverso.
Comutatividade da soma: Para todas as funções , . A soma de funções é comutativa porque .
Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares: Para escalares e função , . Isso é válido porque .
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores: Para escalar e funções , . De fato, .
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: Para escalares e função , . Isso é verdade porque .
Identidade multiplicativa: Para a função , . Claramente, .
Passo 5
Além disso, precisamos garantir que a soma de duas funções contínuas seja contínua e que a multiplicação de uma função contínua por um escalar resulte em uma função contínua. Sabemos que a soma e a multiplicação por escalar de funções contínuas mantêm a continuidade.
Resposta
Concluímos que o conjunto das funções contínuas de em , com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto, esse conjunto é de fato um espaço vetorial.