Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais(com a soma e produto por escalar usuais):
Conjunto das funções contínuas de
em
.
Conjunto das funções contínuas de
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto das funções contínuas de
em
é um espaço vetorial, usando as operações de soma e multiplicação por escalar que conhecemos. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial e checar se esse conjunto as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde podemos realizar duas operações: adição e multiplicação por um escalar (número real, no nosso caso). Essas operações precisam obedecer a oito axiomas, como associatividade, existência de elemento neutro, etc.
Passo 3
No nosso caso, os “vetores” são funções contínuas de
em
. A soma de dois vetores (funções) é definida como
para todo
em
. A multiplicação por um escalar
é definida como
.
Passo 4
Vamos verificar cada um dos oito axiomas:
-
Associatividade da soma: Para todas as funções
, . Isso é verdade porque a soma de funções é associativa. -
Elemento neutro da soma: Existe uma função
tal que para toda função . A função zero, onde para todo , atua como neutro. -
Elemento inverso da soma: Para toda função
, existe uma função tal que . A função definida por serve como inverso. -
Comutatividade da soma: Para todas as funções
, . A soma de funções é comutativa porque . -
Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares: Para escalares
e função , . Isso é válido porque . -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores: Para escalar
e funções , . De fato, . -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: Para escalares
e função , . Isso é verdade porque . -
Identidade multiplicativa: Para a função
, . Claramente, .
Passo 5
Além disso, precisamos garantir que a soma de duas funções contínuas seja contínua e que a multiplicação de uma função contínua por um escalar resulte em uma função contínua. Sabemos que a soma e a multiplicação por escalar de funções contínuas mantêm a continuidade.
Resposta
Concluímos que o conjunto das funções contínuas de
em
, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto, esse conjunto é de fato um espaço vetorial.