Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear representada pela matriz . O conteúdo envolvido aqui é transformações lineares, núcleo (ker) e imagem (Im) de uma transformação linear. Para resolver, vamos precisar saber como multiplicar matrizes por vetores, encontrar soluções de sistemas lineares e identificar bases para espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar . Para isso, multiplicamos a matriz pelo vetor :
Passo 3
Agora, vamos encontrar o núcleo de x y z, que é o conjunto de todos os vetores 0 0 tais que 5x - 4y - 3z = 0 -3x + 2y + 3z = 0 . Isso significa resolver o sistema:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, multiplicar a segunda equação por 5x - 4y - 3z = 0 5x - 103y - 5z = 0 para facilitar a eliminação de (5x - 4y - 3z) - (5x - 103y - 5z) = 0 0 + (-4 + 103)y + (-3 + 5)z = 0 -23y + 2z = 0 -23y = -2z y = 3z :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 5
Substituindo 5x - 4(3z) - 3z = 0 5x - 12z - 3z = 0 5x = 15z x = 3z na primeira equação:
Passo 6
Então, todo vetor no núcleo tem a forma:
x y z = 3z 3z z = z 3 3 1
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor 3 3 1.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a imagem de 5 -3. A imagem é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz -4 2. As colunas são -3 3, -4 2 = -45 5 -3 + algo? e Posto(T) = 2 .
Para encontrar uma base, precisamos verificar quais vetores são lineares independentes. Observando:
5 -3
Na verdade, as três colunas não são todas lineares independentes. Vamos verificar:
Calculando o posto da matriz -4 2:
Então, a imagem é um espaço bidimensional em , ou seja, igual a todo . Portanto, uma base para a imagem pode ser, por exemplo, os vetores e .