Dado [T]=[ccc5 & -4 & -3 -3 & 2 & 3], determine T(x, y, z), ker(T), Im(T), uma base para ker(T) e u uma base para Im(T).

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear representada pela matriz 5 & -4 & -3 -3 & 2 & 3. O conteúdo envolvido aqui é transformações lineares, núcleo (ker) e imagem (Im) de uma transformação linear. Para resolver, vamos precisar saber como multiplicar matrizes por vetores, encontrar soluções de sistemas lineares e identificar bases para espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar x y z. Para isso, multiplicamos a matriz T(x, y, z) = [T] x y z = 5x - 4y - 3z -3x + 2y + 3z pelo vetor :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo de x y z, que é o conjunto de todos os vetores 0 0 tais que 5x - 4y - 3z = 0 -3x + 2y + 3z = 0 . Isso significa resolver o sistema:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, multiplicar a segunda equação por 5x - 4y - 3z = 0 5x - 103y - 5z = 0 para facilitar a eliminação de (5x - 4y - 3z) - (5x - 103y - 5z) = 0 0 + (-4 + 103)y + (-3 + 5)z = 0 -23y + 2z = 0 -23y = -2z y = 3z :
Subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 5

Substituindo 5x - 4(3z) - 3z = 0 5x - 12z - 3z = 0 5x = 15z x = 3z na primeira equação:

Passo 6

Então, todo vetor no núcleo tem a forma:
x y z = 3z 3z z = z 3 3 1
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor 3 3 1.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a imagem de 5 -3. A imagem é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz -4 2. As colunas são -3 3, -4 2 = -45 5 -3 + algo? e Posto(T) = 2 .
Para encontrar uma base, precisamos verificar quais vetores são lineares independentes. Observando:
5 -3
Na verdade, as três colunas não são todas lineares independentes. Vamos verificar:
Calculando o posto da matriz -4 2:
Então, a imagem é um espaço bidimensional em , ou seja, igual a todo . Portanto, uma base para a imagem pode ser, por exemplo, os vetores e .

Passo 8

Resumindo tudo:
  • Transformação Linear:
T(x, y, z) = 5x - 4y - 3z -3x + 2y + 3z
  • Núcleo de Ker(T) = z 3 3 1 , | , z in R :
Im(T) = R^2
  • Imagem de 3 3 1 :
5 -3, -4 2
  • Base para :
  • Base para :

Resposta

  • Transformação Linear:
T(x, y, z) = 5x - 4y - 3z -3x + 2y + 3z
  • Núcleo de Ker(T) = z 3 3 1 , | , z in R :
Im(T) = R^2
  • Imagem de 3 3 1 :
5 -3, -4 2
  • Base para :
  • Base para :

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