Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
cx+y+z=6 2 x+y+z=8 3 x+2 y+2 z=14 3 x+y+z=10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com três incógnitas: , e . Aqui, queremos classificar esse sistema e resolver, se der. Para isso, vamos usar a matéria de Álgebra Linear, especificamente métodos para resolver sistemas lineares, como a eliminação de Gauss. Precisamos organizar as equações e simplificar pra encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
x + y + z = 6 (1) 2x + y + z = 8 (2) 3x + 2y + 2z = 14 (3) 3x + y + z = 10 (4)

Passo 3

Vamos começar eliminando uma variável para simplificar. Vou escolher eliminar (2x + y + z) - (x + y + z) = 8 - 6 x = 2 (5) das equações (2), (3) e (4) usando a equação (1).
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Agora sabemos que .

Passo 4

Com 2 + y + z = 6 y + z = 4 (6) , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar uma relação entre e :

Passo 5

Agora, vamos substituir 3(2) + 2y + 2z = 14 6 + 2y + 2z = 14 2y + 2z = 8 y + z = 4 (7) na equação (3):
Vemos que a equação (7) é a mesma que a equação (6), o que confirma consistência até aqui.

Passo 6

Vamos substituir 3(2) + y + z = 10 6 + y + z = 10 y + z = 4 (8) na equação (4):
Novamente, temos , reforçando que todas as equações estão consistentes.

Passo 7

Até agora, temos:
x = 2 y + z = 4
Queremos valores específicos para 2 + y + z = 6 y + z = 4 e . Vamos usar a equação (1):
Mas já sabemos que isso é consistente. Vamos escolher valores que satisfazem . Porém, como todas as equações resultaram na mesma condição, o sistema tem infinitas soluções onde e somam 4.

Resposta

O sistema é consistente e possui infinitas soluções. A solução geral é:
x = 2, y = t, z = 4 - t para qualquer real t

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