Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com três incógnitas: , e . Aqui, queremos classificar esse sistema e resolver, se der. Para isso, vamos usar a matéria de Álgebra Linear, especificamente métodos para resolver sistemas lineares, como a eliminação de Gauss. Precisamos organizar as equações e simplificar pra encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
x + y + z = 6 (1) 2x + y + z = 8 (2) 3x + 2y + 2z = 14 (3) 3x + y + z = 10 (4)
Passo 3
Vamos começar eliminando uma variável para simplificar. Vou escolher eliminar (2x + y + z) - (x + y + z) = 8 - 6 x = 2 (5) das equações (2), (3) e (4) usando a equação (1).
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Agora sabemos que .
Passo 4
Com 2 + y + z = 6 y + z = 4 (6) , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar uma relação entre e :
Vemos que a equação (7) é a mesma que a equação (6), o que confirma consistência até aqui.
Passo 6
Vamos substituir 3(2) + y + z = 10 6 + y + z = 10 y + z = 4 (8) na equação (4):
Novamente, temos , reforçando que todas as equações estão consistentes.
Passo 7
Até agora, temos:
x = 2 y + z = 4
Queremos valores específicos para 2 + y + z = 6 y + z = 4 e . Vamos usar a equação (1):
Mas já sabemos que isso é consistente. Vamos escolher valores que satisfazem . Porém, como todas as equações resultaram na mesma condição, o sistema tem infinitas soluções onde e somam 4.
Resposta
O sistema é consistente e possui infinitas soluções. A solução geral é: