Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
(v)cx+y+z-t=3 2 x+3 y-z+t=1 -x+y-z-2 t=-1 x+2 y+2 z+t=6

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse sistema de equações juntos. O que temos aqui é um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas: , , e . Para resolver esse tipo de sistema, vamos usar o método de escalonamento, que nos ajuda a simplificar as equações até encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita o processo de escalonamento. A matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & 1 & -1 & | & 3 2 & 3 & -1 & 1 & | & 1 -1 & 1 & -1 & -2 & | & -1 1 & 2 & 2 & 1 & | & 6

Passo 3

Nosso objetivo agora é transformar essa matriz em uma forma escalonada. Vamos começar eliminando o 1 & 1 & 1 & -1 & | & 3 0 & 1 & -3 & 3 & | & -5 0 & 2 & 0 & -3 & | & 2 0 & 1 & 1 & 2 & | & 3 das equações abaixo da primeira. Para isso:
  • Equação 2: Subtrair 2 vezes a Equação 1 da Equação 2.
  • Equação 3: Adicionar a Equação 1 à Equação 3.
  • Equação 4: Subtrair a Equação 1 da Equação 4.
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 1 & 1 & 1 & -1 & | & 3 0 & 1 & -3 & 3 & | & -5 0 & 0 & 6 & -9 & | & 12 0 & 0 & 4 & -1 & | & 8 das Equações 3 e 4 usando a Equação 2.
  • Equação 3: Subtrair 2 vezes a Equação 2 da Equação 3.
  • Equação 4: Subtrair a Equação 2 da Equação 4.
A matriz atualizada fica:

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais. Primeiro, dividimos a Equação 3 por 6 para facilitar:
0 0 1 -1.5 | 2
Agora, usamos essa nova Equação 3 para eliminar o 1 & 1 & 1 & -1 & | & 3 0 & 1 & -3 & 3 & | & -5 0 & 0 & 1 & -1.5 & | & 2 0 & 0 & 0 & 5 & | & 0 da Equação 4.
  • Equação 4: Subtrair 4 vezes a nova Equação 3 da Equação 4.
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver de baixo para cima:
  • Equação 4:
  • Equação 3: ⇒ Como , então
  • Equação 2:
  • Equação 1:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 0, y = 1, z = 2, t = 0

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