Detrmine a forma escalonada de Gauss para as matrizes: B=(cccc1 & 3 & 3 & -2 3 & 1 & -2 & -2 -4 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & -1 & -2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a forma escalonada de Gauss para a matriz B = 1 & 3 & 3 & -2 3 & 1 & -2 & -2 -4 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & -1 & -2 :
Conteúdo da matéria: A forma escalonada de Gauss é um método para simplificar matrizes usando operações elementares de linha, facilitando a resolução de sistemas lineares.
O que vamos precisar: Conhecer as operações elementares de linha:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Vamos aplicar essas operações passo a passo para transformar a matriz na forma escalonada.

Passo 2

Objetivo: Ter um 1 no primeiro elemento da primeira linha (pivô).
Neste caso, já temos um 1 na posição 1 & 3 & 3 & -2 3 & 1 & -2 & -2 -4 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & -1 & -2 , então não precisamos fazer nada aqui.
Matriz atual:

Passo 3

Objetivo: Zerar os elementos abaixo do pivô 3 - 3 times 1 = 0 1 - 3 times 3 = 1 - 9 = -8 -2 - 3 times 3 = -2 - 9 = -11 -2 - 3 times (-2) = -2 + 6 = 4 .
Para isso, vamos fazer opera��ões nas linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1.
  • Linha 2: -4 + 4 times 1 = 0 -1 + 4 times 3 = -1 + 12 = 11 2 + 4 times 3 = 2 + 12 = 14 3 + 4 times (-2) = 3 - 8 = -5
3 - 3 times 1 = 0 1 - 3 times 3 = 1 - 9 = -8 -1 - 3 times 3 = -1 - 9 = -10 -2 - 3 times (-2) = -2 + 6 = 4
  • Linha 3: 1 & 3 & 3 & -2 0 & -8 & -11 & 4 0 & 11 & 14 & -5 0 & -8 & -10 & 4
  • Linha 4:
Matriz após as operações:

Passo 4

Objetivo: Ter um 1 no segundo pivô ( L2 = L2-8 ).
Primeiro, vamos dividir a segunda linha por -8 para obter um 1 no pivô.
0 -8-8 = 1 -11-8 = 118 4-8 = -12
1 & 3 & 3 & -2 0 & 1 & 118 & -12 0 & 11 & 14 & -5 0 & -8 & -10 & 4
Matriz atual:

Passo 5

Objetivo: Zerar os elementos abaixo do pivô 0 - 11 times 0 = 0 11 - 11 times 1 = 0 14 - 11 times 118 = 14 - 1218 = 1128 - 1218 = -98 -5 - 11 times (-12) = -5 + 112 = -102 + 112 = 12 .
Vamos usar a segunda linha para eliminar os elementos na coluna 2 das linhas 3 e 4.
  • Linha 3: 0 + 8 times 0 = 0 -8 + 8 times 1 = 0 -10 + 8 times 118 = -10 + 11 = 1 4 + 8 times (-12) = 4 - 4 = 0
1 & 3 & 3 & -2 0 & 1 & 118 & -12 0 & 0 & -98 & 12 0 & 0 & 1 & 0
  • Linha 4:
Matriz após as operações:

Passo 6

Objetivo: Ter um 1 no terceiro pivô ( L3 rightarrow L4 ).
Primeiro, vamos trocar a terceira linha com a quarta linha para facilitar o processo, já que a quarta linha tem um 1 na terceira posição.
Troca das linhas 3 e 4:
1 & 3 & 3 & -2 0 & 1 & 118 & -12 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -98 & 12
Matriz atual:
0 + 98 times 0 = 0 0 + 98 times 0 = 0 -98 + 98 times 1 = 0 12 + 98 times 0 = 12
Agora, vamos zerar o elemento 1 & 3 & 3 & -2 0 & 1 & 118 & -12 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 12 usando a terceira linha.
  • Linha 4:
Matriz após as operações:

Passo 7

Objetivo: Zerar os elementos acima dos pivôs para obter a forma escalonada.
Vamos agora ajustar as linhas superiores para eliminar os elementos acima de cada pivô.
  • Linha 2: 0 - 118 times 0 = 0 1 - 118 times 0 = 1 118 - 118 times 1 = 0 -12 - 118 times 0 = -12
1 - 3 times 0 = 1 3 - 3 times 0 = 3 3 - 3 times 1 = 0 -2 - 3 times 0 = -2
  • Linha 1: 1 & 3 & 0 & -2 0 & 1 & 0 & -12 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 12
1 - 3 times 0 = 1 3 - 3 times 1 = 0 0 - 3 times 0 = 0 -2 - 3 times (-12) = -2 + 32 = -12
Matriz após as operações:
1 & 0 & 0 & -12 0 & 1 & 0 & -12 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 12
Agora, vamos eliminar o elemento usando a segunda linha.
  • Linha 1:
Matriz após as operações finais:

Resposta

A forma escalonada de Gauss para a matriz 1 & 0 & 0 & -12 0 & 1 & 0 & -12 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 12 é:

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