Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares: c4 y+z=20 2 x-2 y+z=0 x+z=5 x+y-z=10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. O que isso significa? Basicamente, vamos transformar o sistema em uma forma mais simples para descobrir os valores de , e . Vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e usar operações matemáticas para eliminar incógnitas uma por uma.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Cada linha da matriz representa uma equação, e cada coluna representa os coeficientes de 0 & 4 & 1 & | & 20 2 & -2 & 1 & | & 0 1 & 0 & 1 & | & 5 1 & 1 & -1 & | & 10 , , e o termo constante.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde conseguimos isolar uma variável de cada vez. Vamos começar eliminando o das equações abaixo da primeira.
Primeiro, a segunda equação já tem um com coeficiente 2. Vamos manter isso para o momento.

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 2x + 0y + 2z = 10 da terceira e quarta equação. Para isso, podemos multiplicar a terceira equação por 2 e subtrair a segunda equação dela.
Multiplicando a terceira equação por 2:
(2x + 0y + 2z) - (2x - 2y + z) = 10 - 0 0x + 2y + z = 10
Subtraindo a segunda equação ( 2y + z = 10 ):
Então, a nova terceira equação é:

Passo 5

Fazendo o mesmo para a quarta equação. Vamos manter o 2x = 2y - z x = y - z2 como está e usar a segunda equação para eliminar o .
A segunda equação é . Podemos usar isso para expressar o em termos de e :
Isso nos ajudará a substituir o nas outras equações.

Passo 6

Agora, substituindo (y - z2) + y - z = 10 2y - 3z2 = 10 na quarta equação 4y - 3z = 20 :
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:

Passo 7

Agora, temos um sistema mais simples com duas equações:
2y + z = 10 4y - 3z = 20
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 8

Vamos multiplicar a primeira equação por 3 para facilitar a eliminação do 6y + 3z = 30 :
(6y + 3z) + (4y - 3z) = 30 + 20 10y = 50 y = 5
Agora, somamos com a segunda equação:

Passo 9

Com 2(5) + z = 10 10 + z = 10 z = 0 , substituímos na primeira equação simplificada para encontrar :

Passo 10

Agora que temos x = y - z2 = 5 - 02 = 5 e , usamos a expressão que encontramos para :

Resposta

A solução do sistema é , e .

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