Classifique e resolva os seguintes sistemas: c) S.P.D.; C =(23), 13, 13
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com três incógnitas: , e . O objetivo é classificar esse sistema (saber se ele tem solução única, várias soluções ou nenhuma) e resolver para encontrar os valores de , e . Para isso, vamos usar álgebra linear, que envolve métodos como eliminação de Gauss para simplificar e resolver as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma clara:
2x + 3y - z = 2 x - y + 2z = 1 4x + 5y + 5z = 6
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfaçam todas as três equações ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos começar pela eliminação de variáveis. O método que vamos usar aqui é o de eliminação de Gauss, que consiste em transformar o sistema em uma forma triangular, facilitando a resolução.
Primeiro, vamos organizar o sistema em forma de matriz aumentada:
Nosso primeiro objetivo �� zerar o elemento abaixo do primeiro coeficiente ( Linha 2 = Linha 2 - ( 12 times Linha 1 ) ) na primeira coluna. Para fazer isso, vamos usar a segunda equação.
Multiplicamos a primeira equação por 1 - ( 12 times 2 ) = 0 -1 - ( 12 times 3 ) = -1 - 32 = -52 2 - ( 12 times (-1) ) = 2 + 12 = 52 1 - ( 12 times 2 ) = 1 - 1 = 0 e subtraímos da segunda equação para eliminar 0x - 52y + 52z = 0 .
0x - 5y + 5z = 0
Calculando:
Então, a nova segunda linha fica:
Multiplicando toda a linha por para eliminar as frações:
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para a terceira equação. Queremos eliminar Linha 3 = Linha 3 - (2 times Linha 1) multiplicando a primeira equação por 4 - (2 times 2) = 4 - 4 = 0 5 - (2 times 3) = 5 - 6 = -1 5 - (2 times -1) = 5 + 2 = 7 6 - (2 times 2) = 6 - 4 = 2 e subtraindo da terceira equação.
0x - y + 7z = 2
Calculando:
Então, a nova terceira linha fica:
Passo 6
Agora o sistema está assim:
2x + 3y - z = 2 -5y + 5z = 0 -y + 7z = 2
Vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. Vamos isolar -5y + 5z = 0 Rightarrow -5y = -5z Rightarrow y = z :
Passo 7
Com -y + 7z = 2 Rightarrow -z + 7z = 2 Rightarrow 6z = 2 Rightarrow z = 26 = 13 , vamos substituir na terceira equação:
Então, .
Passo 8
Agora que temos y = 13 , podemos encontrar usando :
Passo 9
Por fim, substituímos 2x + 3( 13 ) - 13 = 2 2x + 1 - 13 = 2 2x + 23 = 2 2x = 2 - 23 2x = 63 - 23 2x = 43 x = 43 div 2 x = 43 times 12 x = 23 e na primeira equação para encontrar :