Determine um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u=(1,2,3) e v=(2,4,4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: Determinar um vetor unitário que seja simultaneamente ortogonal aos vetores e .
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente vetores ortogonais e vetores unitários.
O que vamos precisar: Para achar um vetor que seja ortogonal a dois vetores dados, usamos o produto vetorial. Depois, para transformar esse vetor em um vetor unitário, vamos normalizá-lo, ou seja, dividir por seu comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor que seja ortogonal a w = u times v e a times b = ( a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 ) . Para isso, usamos o produto vetorial:
O produto vetorial entre dois vetores e é dado por:

Passo 3

Aplicando a fórmula do produto vetorial aos vetores w = u times v = ( 2 times 4 - 3 times 4, 3 times 2 - 1 times 4, 1 times 4 - 2 times 2 ) e w = ( 8 - 12, 6 - 4, 4 - 4 ) = (-4, 2, 0) :
Calculando cada componente:

Passo 4

Agora que temos o vetor |w| = raiz(-4)^2 + 2^2 + 0^2 = raiz16 + 4 + 0 = raiz20 = 2raiz5 que é ortogonal a e , precisamos transformá-lo em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1.
Para isso, calculamos o comprimento de :

Passo 5

Com o comprimento de uw = w|w| = ( -42raiz5, 22raiz5, 02raiz5 ) = ( -2raiz5, 1raiz5, 0 ) , podemos encontrar o vetor unitário dividindo cada componente de pelo seu comprimento:

Resposta

Um vetor unitário simultaneamente ortogonal a uw = ( -2raiz5, 1raiz5, 0 ) e é:

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