K, L, M são matrizes 1 times 3. Uma matriz B satisfaz: K B=(ccc1 & 0 & -1), L B=(lll1 & 1 & 2), M B=(lll1 & -1 & -3). Mostre que B tem inversa e calcule essa inversa em função de K, L, M.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três matrizes K B = 1 & 0 & -1, L B = 1 & 1 & 2, M B = 1 & -1 & -3 que são , ou seja, têm 1 linha e 3 colunas. A matriz é uma matriz que, quando multiplicada por , nos dá certos resultados:
Queremos mostrar que tem inversa e calcular essa inversa em função de . Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre matrizes inversas e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações que temos. Cada uma das equações 1 & 0 & -1, 1 & 1 & 2, 1 & -1 & -3 representa uma linha do produto de matrizes.
Vamos representar K = k1 & k2 & k3, L = l1 & l2 & l3, M = m1 & m2 & m3 como vetores linha:
B = b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23 b31 & b32 & b33
E como uma matriz :

Passo 3

Quando multiplicamos 1 & 0 & -1 por k1 b11 + k2 b21 + k3 b31 = 1 k1 b12 + k2 b22 + k3 b32 = 0 k1 b13 + k2 b23 + k3 b33 = -1 , estamos fazendo o produto escalar entre e cada coluna de . Então, a equação se desdobra em:
O mesmo vale para as equações envolvendo e . Esse sistema de equações lineares nos ajuda a relacionar as entradas de com .

Passo 4

Para que tenha inversa, ela precisa ser uma matriz invertível, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero. Em termos práticos, isso significa que as linhas de (ou as colunas) devem ser linearmente independentes.
No entanto, como estamos buscando a inversa em termos de , podemos aproveitar que as equações dadas nos permitem expressar de uma maneira que facilita a inversão.

Passo 5

Vamos montar uma matriz cujas linhas são A = K L M = k1 & k2 & k3 l1 & l2 & l3 m1 & m2 & m3 :
A B = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 2 1 & -1 & -3
Então, as equações que temos podem ser escritas como:
C = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 2 1 & -1 & -3
Vamos chamar a matriz do lado direito de :

Passo 6

Agora, queremos encontrar A^-1 A B = A^-1 C I B = A^-1 C B = A^-1 C em função de . Sabemos que se , então multiplicando ambos os lados por (se existir), temos:
Portanto, , assumindo que é invertível.

Passo 7

Para garantir que det(A) = k1(l2 m3 - l3 m2) - k2(l1 m3 - l3 m1) + k3(l1 m2 - l2 m1) é invertível, precisamos verificar se seu determinante é diferente de zero. O determinante de é:
Se , então é invertível e podemos prosseguir.

Passo 8

Assumindo que B^-1 = C^-1 A é invertível, a inversa de B^-1 = (A^-1 C)^-1 = C^-1 (A^-1)^-1 = C^-1 A será dada por:
Isso ocorre porque , então sua inversa é:

Passo 9

Agora, precisamos calcular C = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 2 1 & -1 & -3 e multiplicar por C^-1 = -1 & 1 & 1 -2 & 0 & 1 1 & 1 & 0 para obter . Primeiro, encontramos o inverso de , que é uma matriz específica conhecida:
Calculando , temos:

Passo 10

Finalmente, multiplicamos B^-1 = C^-1 A = -1 & 1 & 1 -2 & 0 & 1 1 & 1 & 0 k1 & k2 & k3 l1 & l2 & l3 m1 & m2 & m3 por para encontrar :
Fazendo a multiplicação, obtemos cada elemento de em termos de .

Resposta

A inversa de B^-1 = -1 & 1 & 1 -2 & 0 & 1 1 & 1 & 0 K L M é dada por:
Ou seja, é a multiplicação da matriz inversa de pela matriz formada por .

Exercícios relacionados