Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por representações ou por verificações.
c) O plano x+y+z=5 contém as retas r: 1-x2=y-4=z e s: x-2-3=y-14=z-2-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um plano definido pela equação e duas retas e dadas por suas equações paramétricas. Nosso objetivo é descobrir se essas retas estão de fato contidas nesse plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar retas e planos no espaço tridimensional e verificar se todos os pontos das retas satisfazem a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas 1 - x2 = y - 4 = z e 1 - x2 = t Rightarrow x = 1 - 2t de forma mais clara.
Para a reta y - 4 = t Rightarrow y = 4 + t :
z = t
Podemos chamar esse valor comum de parâmetro r(t) = (1 - 2t, , 4 + t, , t) :
x - 2-3 = y - 14 = z - 2-1
x - 2-3 = s Rightarrow x = -3s + 2
y - 14 = s Rightarrow y = 4s + 1
Então, a parametrização da reta z - 2-1 = s Rightarrow z = -s + 2 é:
s(s) = (-3s + 2, , 4s + 1, , -s + 2)
Para a reta :
Chamando esse valor comum de parâmetro :
Então, a parametrização da reta é:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essas retas estão no plano x + y + z = (1 - 2t) + (4 + t) + t = 1 - 2t + 4 + t + t = 5 . Para isso, substituímos as coordenadas de qualquer ponto das retas na equação do plano e verificamos se a igualdade é satisfeita para todos os valores dos parâmetros.
Para a reta 5 = 5 :
x + y + z = (-3s + 2) + (4s + 1) + (-s + 2) = -3s + 2 + 4s + 1 - s + 2 = ( -3s + 4s - s ) + (2 + 1 + 2) = 0s + 5 = 5
Simplificando:
5 = 5
A igualdade é sempre verdadeira, independentemente do valor de .
Para a reta :
Simplificando:
Novamente, a igualdade é sempre verdadeira, independentemente do valor de .

Resposta

Verdadeiro. Ambas as retas e estão contidas no plano , pois todos os pontos de cada reta satisfazem a equação do plano.

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