Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por representações ou por verificações.
c) O plano
contém as retas
e
.
c) O plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um plano definido pela equação
e duas retas
e
dadas por suas equações paramétricas. Nosso objetivo é descobrir se essas retas estão de fato contidas nesse plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar retas e planos no espaço tridimensional e verificar se todos os pontos das retas satisfazem a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas
e
de forma mais clara.
Para a reta
:
Podemos chamar esse valor comum de parâmetro
:
Então, a parametrização da reta
é:
Para a reta
:
Chamando esse valor comum de parâmetro
:
Então, a parametrização da reta
é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essas retas estão no plano
. Para isso, substituímos as coordenadas de qualquer ponto das retas na equação do plano e verificamos se a igualdade é satisfeita para todos os valores dos parâmetros.
Para a reta
:
Simplificando:
A igualdade é sempre verdadeira, independentemente do valor de
.
Para a reta
:
Simplificando:
Novamente, a igualdade é sempre verdadeira, independentemente do valor de
.
Resposta
Verdadeiro. Ambas as retas
e
estão contidas no plano
, pois todos os pontos de cada reta satisfazem a equação do plano.