Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos três afirmações sobre vetores e pontos no espaço, e precisamos dizer se cada uma é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como ortogonalidade, coplanaridade e bases positivas.
Passo 2
Começando pela letra (a): Queremos saber se os vetores e são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou ponto) entre eles for zero.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o produto interno:
Simplificando:
Sabemos que (são unitários) e . Substituindo:
Como o produto interno é zero, os vetores são ortogonais.
Passo 4
Agora, a letra (b): Precisamos verificar se os pontos , , e são coplanares. Quatro pontos são coplanares se o volume do paralelepípedo formado por três vetores que ligam um ponto aos outros três for zero. Isso é calculado usando o determinante.
Passo 5
Vamos formar os vetores:
Calculamos o determinante:
= -3(-3 - 3) - (-2)(3 -6) -4(1 + 2)
= -3(-6) - (-2)(-3) -4(3) = 18 - 6 -12 = 0
Como o determinante é zero, os pontos são coplanares.