Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Se u e v são vetores unitários que formam um ângulo de 60^circ, então os vetores u+2 v e 5 u-4 v são ortogonais.
(b) Os pontos A(1,1,1), B(-2,-1,-3), C(0,2,-2) e D(-1,0,-2) são coplanares.
© Os vetores u=2 i+j+3 k, v=-i+2 k e w=-2 i+7 j-k, nesta ordem, formam uma base positiva (ou um triedro positivo) com w ortogonal ao plano definido por u e v.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos três afirmações sobre vetores e pontos no espaço, e precisamos dizer se cada uma é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como ortogonalidade, coplanaridade e bases positivas.

Passo 2

Começando pela letra (a): Queremos saber se os vetores u+2 v e 5 u-4 v são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou ponto) entre eles for zero.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o produto interno:
(u+2 v) cdot (5 u-4 v) = u cdot 5u + u cdot (-4v) + 2v cdot 5u + 2v cdot (-4v)
Simplificando:
5|u|^2 - 4 (u cdot v) + 10 (v cdot u) - 8|v|^2
Sabemos que |u| = |v| = 1 (são unitários) e u cdot v = cos(60^circ) = 0,5. Substituindo:
5(1) - 4(0,5) + 10(0,5) - 8(1) = 5 - 2 + 5 - 8 = 0
Como o produto interno é zero, os vetores são ortogonais.

Passo 4

Agora, a letra (b): Precisamos verificar se os pontos A, B, C e D são coplanares. Quatro pontos são coplanares se o volume do paralelepípedo formado por três vetores que ligam um ponto aos outros três for zero. Isso é calculado usando o determinante.

Passo 5

Vamos formar os vetores:
AB = B - A = (-2-1, -1-1, -3-1) = (-3, -2, -4)
AC = C - A = (0-1, 2-1, -2-1) = (-1, 1, -3)
AD = D - A = (-1-1, 0-1, -2-1) = (-2, -1, -3)
Calculamos o determinante:
-3 & -2 & -4 -1 & 1 & -3 -2 & -1 & -3 = -3(1 cdot (-3) - (-3) cdot (-1)) - (-2)(-1 cdot (-3) - (-3) cdot (-2)) -4((-1) cdot (-1) - 1 cdot (-2))
= -3(-3 - 3) - (-2)(3 -6) -4(1 + 2)
= -3(-6) - (-2)(-3) -4(3) = 18 - 6 -12 = 0
Como o determinante é zero, os pontos são coplanares.

Passo 6

Finalmente, a letra ©: Precisamos verificar se os vetores u, v e w formam uma base positiva com w ortogonal ao plano definido por u e v. Para isso, w deve ser o produto vetorial de u e v e o determinante formado por eles deve ser positivo.

Passo 7

Primeiro, calculamos o produto vetorial u times v:
u = 2i + j + 3k, v = -i + 2k
u times v = i & j & k 2 & 1 & 3 -1 & 0 & 2 = i(1 cdot 2 - 3 cdot 0) - j(2 cdot 2 - 3 cdot (-1)) + k(2 cdot 0 - 1 cdot (-1))
= 2i - (4 +3)j + (0 +1)k = 2i -7j + k
Comparando com w = -2i +7j -k, vemos que w = -1 times (u times v), ou seja, aponta na direção oposta. Portanto, não forma uma base positiva.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
© Falsa

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