Um jovem parte de um ponto , caminha 100 metros para norte, até um ponto ; em seguida, orienta-se para o leste e caminha mais 50 metros do ponto até um ponto .
(a) Determine o módulo do deslocamento resultante.
(b) Encontre o ângulo formado pelo entre vetor que representa o deslocamento resultante e o vetor .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um jovem que parte do ponto e caminha 100 metros para o norte até o ponto . Daí, ele vira para o leste e caminha mais 50 metros até o ponto . O que precisamos fazer é:
(a) Encontrar o módulo do deslocamento resultante, ou seja, a distância direta entre e .
(b) Descobrir o ângulo formado entre essa trajetória direta () e a primeira caminhada que ele fez ().
Vamos usar conceitos de vetores, o Teorema de Pitágoras e funções trigonométricas pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a), que pede o módulo do deslocamento resultante. Imagine que a caminhada do jovem forma um triângulo retângulo, onde:
AC = raizAB^2 + BC^2 metros (para o norte)
AC = raiz100^2 + 50^2 = raiz10000 + 2500 = raiz12500 metros (para o leste)
AC approx 111,80 metros é a hipotenusa, que é o deslocamento direto que queremos encontrar.
Segundo o Teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Calculando a raiz quadrada:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b), que quer o ângulo entre tan(theta) = BCAB e tan(theta) = 50100 = 0,5 . Esse ângulo é basicamente o ângulo que a hipotenusa faz com o cateto adjacente no triângulo retângulo.
Para encontrar esse ângulo, podemos usar a função tangente, que relaciona o cateto oposto ( theta = arctan(0,5) approx 26,57^circ ) com o cateto adjacente ():
Substituindo os valores:
Para encontrar , usamos a função arco-tangente:
Resposta
(a) O módulo do deslocamento resultante é aproximadamente metros.
(b) O ângulo formado entre o deslocamento resultante e a primeira caminhada é de aproximadamente .