Um jovem parte de um ponto A, caminha 100 metros para norte, até um ponto B; em seguida, orienta-se para o leste e caminha mais 50 metros do ponto B até um ponto C.
(a) Determine o módulo do deslocamento resultante.
(b) Encontre o ângulo formado pelo entre vetor que representa o deslocamento resultante e o vetor A B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um jovem que parte do ponto e caminha 100 metros para o norte até o ponto . Daí, ele vira para o leste e caminha mais 50 metros até o ponto . O que precisamos fazer é:
(a) Encontrar o módulo do deslocamento resultante, ou seja, a distância direta entre e .
(b) Descobrir o ângulo formado entre essa trajetória direta ( ) e a primeira caminhada que ele fez ( ).
Vamos usar conceitos de vetores, o Teorema de Pitágoras e funções trigonométricas pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a), que pede o módulo do deslocamento resultante. Imagine que a caminhada do jovem forma um triângulo retângulo, onde:
  • AC = raizAB^2 + BC^2 metros (para o norte)
  • AC = raiz100^2 + 50^2 = raiz10000 + 2500 = raiz12500 metros (para o leste)
  • AC approx 111,80 metros é a hipotenusa, que é o deslocamento direto que queremos encontrar.
Segundo o Teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Calculando a raiz quadrada:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), que quer o ângulo entre tan(theta) = BCAB e tan(theta) = 50100 = 0,5 . Esse ângulo é basicamente o ângulo que a hipotenusa faz com o cateto adjacente no triângulo retângulo.
Para encontrar esse ângulo, podemos usar a função tangente, que relaciona o cateto oposto ( theta = arctan(0,5) approx 26,57^circ ) com o cateto adjacente ( ):
Substituindo os valores:
Para encontrar , usamos a função arco-tangente:

Resposta

(a) O módulo do deslocamento resultante é aproximadamente metros.
(b) O ângulo formado entre o deslocamento resultante e a primeira caminhada é de aproximadamente .

Exercícios relacionados

Considere os vetores v1=(2,-4,4) e v2=(3,0,3). Determine:
(a) o módulo dos vetores w1 e w2 que satisfazem as seguintes condições: w1 é paralelo a v1; w2 é ortogonal a v1; e v2=w1+w2.
(b) o ângulo formado pelos vetores w1 e v2, sendo w1 o vetor que satisfaz as relações do item (a).
Considere os vetores u e w, tais que u=(1,-1,4),|w|=6 e o ângulo entre u e w é pi3. Determine:
(a) a projeção do vetor w sobre o vetor u.
(b) a área do paralelogramo determinado pelos vetores a=u+w e b=u-w.
Determine o vetor unitário ortogonal aos vetores u=(2,3,-1) e v=(1,1,2).
Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Se u e v são vetores unitários que formam um ângulo de 60^circ, então os vetores u+2 v e 5 u-4 v são ortogonais.
(b) Os pontos A(1,1,1), B(-2,-1,-3), C(0,2,-2) e D(-1,0,-2) são coplanares.
© Os vetores u=2 i+j+3 k, v=-i+2 k e w=-2 i+7 j-k, nesta ordem, formam uma base positiva (ou um triedro positivo) com w ortogonal ao plano definido por u e v.