Determine o vetor unitário ortogonal aos vetores u=(2,3,-1) e v=(1,1,2).

Passo 1

Então, o desafio aqui é encontrar um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores e . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente envolvendo vetores e produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto vetorial para encontrar um vetor perpendicular aos dois dados e depois normalizá-lo para que ele seja unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial de u times v = ( uy vz - uz vy, uz vx - ux vz, ux vy - uy vx ) e u times v = ( 3 times 2 - (-1) times 1, (-1) times 1 - 2 times 2, 2 times 1 - 3 times 1 ) = (6 + 1, -1 - 4, 2 - 3) = (7, -5, -1) . O produto vetorial de dois vetores em 3D resulta em um vetor que é perpendicular a ambos. A fórmula para o produto vetorial é:
Aplicando os valores de e :

Passo 3

Agora que temos o vetor |w| = raiz7^2 + (-5)^2 + (-1)^2 = raiz49 + 25 + 1 = raiz75 = 5raiz3 que é perpendicular a e , precisamos transformá-lo em um vetor unitário. Um vetor unitário tem magnitude igual a 1. Para isso, vamos calcular a magnitude de :

Passo 4

Com a magnitude, podemos agora normalizar uunitário = ( 75raiz3, -55raiz3, -15raiz3 ) = ( 75raiz3, -1raiz3, -15raiz3 ) dividindo cada componente por :
á

Resposta

O vetor unitário ortogonal aos vetores uunitário = ( 75raiz3, -1raiz3, -15raiz3 ) e é:
á

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