Determine o vetor unitário ortogonal aos vetores u=(2,3,-1) e v=(1,1,2).

Passo 1

Então, o desafio aqui é encontrar um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores e . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente envolvendo vetores e produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto vetorial para encontrar um vetor perpendicular aos dois dados e depois normalizá-lo para que ele seja unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial de u times v = ( uy vz - uz vy, uz vx - ux vz, ux vy - uy vx ) e u times v = ( 3 times 2 - (-1) times 1, (-1) times 1 - 2 times 2, 2 times 1 - 3 times 1 ) = (6 + 1, -1 - 4, 2 - 3) = (7, -5, -1) . O produto vetorial de dois vetores em 3D resulta em um vetor que é perpendicular a ambos. A fórmula para o produto vetorial é:
Aplicando os valores de e :

Passo 3

Agora que temos o vetor |w| = raiz7^2 + (-5)^2 + (-1)^2 = raiz49 + 25 + 1 = raiz75 = 5raiz3 que é perpendicular a e , precisamos transformá-lo em um vetor unitário. Um vetor unitário tem magnitude igual a 1. Para isso, vamos calcular a magnitude de :

Passo 4

Com a magnitude, podemos agora normalizar uunitário = ( 75raiz3, -55raiz3, -15raiz3 ) = ( 75raiz3, -1raiz3, -15raiz3 ) dividindo cada componente por :
á

Resposta

O vetor unitário ortogonal aos vetores uunitário = ( 75raiz3, -1raiz3, -15raiz3 ) e é:
á

Exercícios relacionados

Um jovem parte de um ponto A, caminha 100 metros para norte, até um ponto B; em seguida, orienta-se para o leste e caminha mais 50 metros do ponto B até um ponto C.
(a) Determine o módulo do deslocamento resultante.
(b) Encontre o ângulo formado pelo entre vetor que representa o deslocamento resultante e o vetor A B.
Considere os vetores v1=(2,-4,4) e v2=(3,0,3). Determine:
(a) o módulo dos vetores w1 e w2 que satisfazem as seguintes condições: w1 é paralelo a v1; w2 é ortogonal a v1; e v2=w1+w2.
(b) o ângulo formado pelos vetores w1 e v2, sendo w1 o vetor que satisfaz as relações do item (a).
Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Se u e v são vetores unitários que formam um ângulo de 60^circ, então os vetores u+2 v e 5 u-4 v são ortogonais.
(b) Os pontos A(1,1,1), B(-2,-1,-3), C(0,2,-2) e D(-1,0,-2) são coplanares.
© Os vetores u=2 i+j+3 k, v=-i+2 k e w=-2 i+7 j-k, nesta ordem, formam uma base positiva (ou um triedro positivo) com w ortogonal ao plano definido por u e v.
Dados os vértices A(9,-5,12) e B(6,1,19) de um paralelogramo A B C D e P(4,-1,7) o ponto de interseção de suas diagonais determine os vértices C e D.