Classifique as seguintes cônicas: 9 x^2+4 y^2+18 x-9 y+25=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação . Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de cônica essa equação representa. Para isso, vamos precisar saber sobre cônicas como elipses, hipérboles e parábolas, e usar a técnica de completar o quadrado para simplificar a equação e identificar a cônica correta.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 9x^2 + 18x + 4y^2 - 9y + 25 = 0 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 9x^2 + 18x = 9(x^2 + 2x) e (22)^2 = 1 separadamente. Para fazer isso, precisamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos:
Para 9(x^2 + 2x + 1 - 1) = 9((x + 1)^2 - 1) = 9(x + 1)^2 - 9 :
4y^2 - 9y = 4(y^2 - 94y)
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de (9/42)^2 = (98)^2 = 8164 , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
4(y^2 - 94y + 8164 - 8164) = 4((y - 98)^2 - 8164) = 4(y - 98)^2 - 8116
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Para :
Completando o quadrado:
Adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:

Passo 4

Substituindo essas expressões de volta na equação original:
9(x + 1)^2 - 9 + 4(y - 98)^2 - 8116 + 25 = 0
Vamos simplificar os termos constantes:
-9 - 8116 + 25 = -14416 - 8116 + 40016 = 17516
Então, a equação fica:
9(x + 1)^2 + 4(y - 98)^2 + 17516 = 0

Passo 5

Vamos isolar os termos quadráticos:
9(x + 1)^2 + 4(y - 98)^2 = -17516
Observamos que a soma de termos quadráticos está igualando a um número negativo, o que indica que não há solução real para essa equação. Isso significa que não existe uma cônica real correspondente a essa equação no plano cartesiano.

Resposta

A equação não representa nenhuma cônica real.

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