Classifique as seguintes cônicas:
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem a equação
e precisa descobrir que tipo de cônica ela representa. Vamos usar conceitos de álgebra para reorganizar essa equação e identificar se é uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola. Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos agrupar os termos de
e os termos de
juntos:
Agora, vamos fatorar os coeficientes dos quadrados para facilitar o processo de completar o quadrado:
Passo 3
Vamos completar o quadrado para os termos de
:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 25 dentro do parênteses:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para os termos de
:
Pegamos o coeficiente de
, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 dentro do parênteses:
Isso nos dá:
Passo 5
Substituímos as expressões completas de volta na equação original:
Distribuímos os coeficientes:
Simplificamos os termos constantes:
Adicionamos 36 em ambos os lados:
Passo 6
Vamos colocar a equação na forma padrão dividindo todos os termos por 36:
Simplificando as frações:
Passo 7
Agora, observamos que a equação está na forma padrão de uma elipse:
Onde
e
. Como os coeficientes de
e
são ambos positivos e diferentes, isso confirma que a cônica é uma elipse.
Resposta
A cônica
é uma elipse.