Classifique as seguintes cônicas: 4 x^2+9 y^2-40 x+36 y+100=0

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem a equação e precisa descobrir que tipo de cônica ela representa. Vamos usar conceitos de álgebra para reorganizar essa equação e identificar se é uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola. Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar os termos de 4x^2 - 40x + 9y^2 + 36y + 100 = 0 e os termos de 4(x^2 - 10x) + 9(y^2 + 4y) + 100 = 0 juntos:
Agora, vamos fatorar os coeficientes dos quadrados para facilitar o processo de completar o quadrado:

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de x^2 - 10x :
(-102)^2 = 25
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de x^2 - 10x + 25 - 25 , que é (x - 5)^2 - 25 , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 25 dentro do parênteses:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para os termos de y^2 + 4y :
(42)^2 = 4
Pegamos o coeficiente de y^2 + 4y + 4 - 4 , que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(y + 2)^2 - 4
Então, adicionamos e subtraímos 4 dentro do parênteses:
Isso nos dá:

Passo 5

Substituímos as expressões completas de volta na equação original:
4((x - 5)^2 - 25) + 9((y + 2)^2 - 4) + 100 = 0
Distribuímos os coeficientes:
4(x - 5)^2 - 100 + 9(y + 2)^2 - 36 + 100 = 0
Simplificamos os termos constantes:
4(x - 5)^2 + 9(y + 2)^2 - 36 = 0
Adicionamos 36 em ambos os lados:
4(x - 5)^2 + 9(y + 2)^2 = 36

Passo 6

Vamos colocar a equação na forma padrão dividindo todos os termos por 36:
4(x - 5)^236 + 9(y + 2)^236 = 1
Simplificando as frações:
(x - 5)^29 + (y + 2)^24 = 1

Passo 7

Agora, observamos que a equação está na forma padrão de uma elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde e . Como os coeficientes de e são ambos positivos e diferentes, isso confirma que a cônica é uma elipse.

Resposta

A cônica é uma elipse.

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